tijdens de 26e ‘conférence générale de poids et mesures’ van 13 tot 16 november 2018 zal in versailles een nieuw internationaal eenhedenstelsel – ook gekend als het système International d’unités of si-stelsel – worden aangenomen. jaren van voorbereiding zijn hieraan voorafgegaan en tijdens dit congres zal de laatste materiële referentie van de zeven basiseenheden, het prototype van de kilogram, worden vervangen door een intussen nauwkeurig gekende natuurconstante, namelijk de constante van planck.

De voltooiing van het Internationaal Eenhedenstelsel

Nathal Severijns

Het Système International d’Unités of het SI-stelsel vindt zijn oorsprong in het metrische systeem dat tijdens de Franse Revolutie werd ingesteld. Om volumes, afstanden en gewichten overal op dezelfde manier te kunnen hanteren werden toen drie basiseenheden ingevoerd: de liter, de meter en de kilogram. Voor volume werd de liter gedefinieerd als één duizendste van een kubieke meter. De meter werd gedefinieerd als één tienmiljoenste van de lijn (de meridiaan) die vanaf de Noordpool door Parijs tot aan de evenaar gaat. Hiervoor werd het deel van deze meridiaan tussen Duinkerke (Frankrijk) en Barcelona (Spanje), met behulp van driehoeksmeting, opgemeten door de Franse astronomen Jean Baptiste Delambre en Pierre François André Méchain. Het verschil in breedtegraad tussen de twee steden werd bepaald door nauwkeurig de positie van de sterren op te meten. Tegelijk moest worden rekening gehouden met het gegeven dat de aarde niet perfect bolvormig is. Het hele project duurde in totaal meer dan zes jaar, van 1792 tot 1798. De kilogram, ten slotte, werd gedefinieerd als de hoeveelheid (de massa van) gedistilleerd water in een volume van één liter bij 4 °C. In de Archives de la République in Parijs werden in 1799 twee voorwerpen als referentie gedeponeerd: een platina staaf met een lengte van één meter en een cilinder van platina met een massa van één kilogram. Door die twee referentievoorwerpen te kopiëren kon ervoor worden gezorgd dat een meter, een liter en een kilogram voortaan overal identiek zouden zijn.

In 1889 werd het eerste, toen al negentig jaar oude en volledig uit platina bestaande prototype van de kilogram vervangen door een cilinder die voor negentig procent uit platina bestaat en voor tien procent uit iridium. Deze legering heeft een grotere hardheid dan platina en is daardoor minder gevoelig voor slijtage. Zo’n materieel prototype heeft echter een groot nadeel. Omdat de definitie van de kilogram afhangt van een materieel voorwerp, moet dit zeer omzichtig worden behandeld en bewaard: onder drie luchtledig gepompte stolpen en in een speciale kamer waartoe slechts enkele personen toegang hebben. Het prototype is bijgevolg niet gemakkelijk toegankelijk voor controle of vergelijking.

Omdat de definitie van de kilogram afhangt van een materieel voorwerp, moet dit zeer omzichtig worden behandeld en bewaard

Mettertijd groeiden de wetenschappelijke inzichten en kennis, waardoor er nood was aan bijkomende eenheden. Daarom werden in 1875 drie internationale organisaties opgericht: de Conférence Générale de Poids et Mesures (CGPM), het Comité International de Poids et Mesures (CIPM), en het Bureau International de Poids et Mesures (BIPM), die het SI-stelsel verder hebben uitgewerkt. Er bleken minimaal zeven onafhankelijke basisgrootheden en bijbehorende eenheden (dimensies) nodig om daaruit, met behulp van de wetten van de fysica, alle andere grootheden te kunnen afleiden. De zeven basisgrootheden in het huidige SI-stelsel worden hieronder gegeven, met hun bijbehorende eenheid:

Voor elke eenheid is er een algemeen aangenomen definitie. Zo is de seconde gedefinieerd als de tijdsduur van 9 192 631 770 ‘trillingen’ van het cesium-133 atoom (in feite periodes van de straling die bij de overgang tussen twee atomaire niveaus van dit atoom hoort). De meter is tegenwoordig gedefinieerd in termen van de lichtsnelheid, namelijk de afstand die licht aflegt in een tijdsinterval van 1/299 792 458 seconden (de lichtsnelheid is 299 792 458 m/s). Voor de bepaling van temperatuur werd als referentie het zogenaamde tripelpunt van water gekozen, waarbij de vaste, vloeibare en gasvormige toestand naast elkaar bestaan, en waaraan een temperatuur van 273.16 K werd toegekend. De kelvin, de eenheid van temperatuur, is dan de fractie 1/273.16 van de temperatuur van het tripelpunt van water. De referentie voor de kilogram, als eenheid van massa, is tot op vandaag nog altijd het internationale prototype van de kilogram, dus nog altijd de massa van de platina en iridium cilinder die in 1889 in Parijs werd gedeponeerd. Verder in de tekst kom ik hierop terug.

Alle andere grootheden in het dagelijkse leven, in de wetenschap en de technologie kunnen worden afgeleid uit die zeven basisgrootheden. Voorbeelden hiervan (de eenheden staan tussen haakjes) zijn: oppervlakte (m2), volume (m3), snelheid (m/s), massadichtheid (kg/m3) en stroomdichtheid (A/m2). Voor een aantal van die afgeleide grootheden heeft de bijbehorende afgeleide eenheid zelfs een aparte naam gekregen. Hier volgen nog een paar gekende voorbeelden:

Naast de afgeleide eenheden zijn er ook nog andere eenheden die we dagelijks gebruiken en die niet tot het SI-stelsel behoren. Ze kunnen wel worden uitgedrukt in termen van eenheden die hieruit afkomstig zijn. Die eenheden zijn meestal diep in onze cultuur verankerd, zoals bijvoorbeeld de minuut (60 s), het uur (3600 s) en de dag (86400 s) als eenheden van tijd, of een ton (1 t = 1000 kg) als eenheid van massa. Ook enkele eenheden die in Engelstalige landen gebruikt worden, zoals de ‘inch’ of ‘Engelse duim’, en de ‘gallon’ (die in de Verenigde Staten en het Verenigd Koninkrijk trouwens niet hetzelfde zijn), horen tot deze groep. De ‘inch’ was oorspronkelijk vastgesteld als ‘de lengte die ongeveer gelijk is aan de breedte van het bovenste kootje van een duim van een volwassen man’, en werd later per definitie gelijkgesteld aan 25.4 mm. De Britse ‘gallon’ was gebaseerd op het volume van tien pond water van 62 °F (dit is 4.54609 liter). In de Verenigde Staten is een ‘gallon’ gedefinieerd als 231 kubieke inch en exact gelijk aan 3.785411784 liter.

Wetenschap en techniek staan echter niet stil. Zo konden steeds hogere nauwkeurigheden worden bekomen bij metingen in onderzoekslaboratoria. Daarbij konden ook enkele natuurconstanten, die overal en altijd dezelfde waarde hebben, zoals de lichtsnelheid of de elektrische lading van het elektron (‘elementaire’ lading genoemd), intussen zeer nauwkeurig worden bepaald. De drie organisaties die voor het SI-stelsel verantwoordelijk zijn, startten daarom een twintigtal jaar geleden al een project om het aan te passen aan de huidige inzichten in de fysica. De bedoeling was om de zeven basisgrootheden van het SI-stelsel en de daaruit afgeleide grootheden te definiëren op basis van nauwkeurig gekende fundamentele natuurconstanten door gebruik te maken van de fysicawetten. Als basis hiervoor zouden de zogenaamde energie-equivalentierelaties worden gebruikt:
E = mc2 = h = eV = kT.

De eerste gelijkheid stelt dat energie E gelijk is aan massa m maal de lichtsnelheid c in het kwadraat. De tweede gelijkheid stelt dat energie ook gelijk is aan de constante van Planck h maal de frequentie . De constante van Planck bepaalt de kleinst mogelijke energiehoeveelheid. De frequentie in deze gelijkheid kan die van eender welke vorm van straling zijn (bijvoorbeeld licht, radiogolven, microgolven, enzovoort) of van eender welk deeltje in zijn beweging. De derde gelijkheid geeft aan dat energie ook gelijk is aan de elementaire lading e maal de elektrische potentiaal V. Concreet betekent dit dat een deeltje met elektrische lading N x e dat een potentiaalverschil van h Volt doorloopt daardoor een (kinetische) energie verwerft van h x N elektronvolt. De laatste gelijkheid ten slotte stelt dat energie van een systeem ook gelijk is aan de constante van Boltzmann k maal de temperatuur T, waarbij de constante van Boltzmann de verdeling van de snelheden van de moleculen in een gas weergeeft.

In deze relaties zitten al vier fundamentele natuurconstanten vervat, namelijk de lichtsnelheid (c), de constante van Planck (h), de elementaire lading (e), en de constante van Boltzmann (k). Daarnaast blijken er nog drie andere, dus in totaal weer zeven fundamentele natuurconstanten nodig om opnieuw alle grootheden en eenheden die in wetenschap en technologie gebruikt worden te kunnen definiëren. Dit zijn het frequentieverschil (133Cs) tussen de twee atomaire niveaus van het cesium-133 atoom waarvan de trillingsfrequentie de seconde bepaalt, het getal van Avogadro NA dat het aantal deeltjes in een stof bepaalt, en de lichtkracht Kcd van geel licht.

De reden waarom tot vandaag de referentie voor massa in het SI-stelsel nog altijd het prototype is dat in Parijs wordt bewaard, is dat het niet eenvoudig was om de kilogram te verbinden aan natuurconstanten die voldoende nauwkeurig gekend zijn. Dat is ondertussen echter wel het geval na ongeveer dertig jaar onderzoek aan het National Institute of Standards and Technology in Gaithersburg (Verenigde Staten). Daar werd, in verschillende stappen, een speciale meetopstelling hiervoor ontwikkeld, een zogenaamde Watt-balans (Haddad). Een Watt-balans bestaat uit een groot draaiend rad met aan één kant de proefopstelling en aan de andere kant een tegengewicht. Hierbij wordt een naar boven gerichte magnetische kracht Fmagn in evenwicht gebracht met een naar beneden gerichte gravitationele kracht Fgrav. De magnetische kracht is de kracht die wordt opgewekt door een spoel met een totale windingenlengte ℓ die zich in een magnetisch veld met sterkte B bevindt en waardoor een stroom I gestuurd wordt. In wetenschappelijke termen wordt dit uitgedrukt als Fmagn = I B ℓ. De gravitationele kracht is de kracht die een massa m ondervindt die in het centrum van de spoel geplaatst wordt. In wetenschappelijke termen: Fgrav. = mg. Het evenwicht wordt gevonden door de stroom I in de spoel te variëren. Bij evenwicht geldt dan dat m g = I B ℓ. Met gespecialiseerde apparatuur werd de valversnelling g op de plaats van de metingen bepaald met een nauwkeurigheid van 4 x 10-9. Om het product B ℓ te bepalen wordt de massa m weggenomen en wordt de stroommeter (aangeduid met de letter I) vervangen door een voltmeter. Hiermee wordt dan de spanning U = v B ℓ opgemeten die de spoel opwekt wanneer ze met behulp van een motor met een snelheid v in verticale richting wordt bewogen (Haddad). Door gebruik te maken van enkele wetten uit de kwantumfysica kan de gelijkheid m g = I B ℓ worden herschreven waarbij de massa m van het voorwerp dan in verband gebracht wordt met de constante van Planck (h). Als voorwerp werd de platina-iridium K85-kopie van het prototype in Parijs gebruikt, waarvan de massa van één kilogram gekend is met een nauwkeurigheid van 20 microgram, dit is twee delen op 108. Met behulp van de Watt-balans kon de constante van Planck dan met dezelfde nauwkeurigheid worden bepaald, om zo in het nieuwe SI-stelsel de plaats van de kilogram in te nemen.

De overgang van het oude naar het nieuwe SI-stelsel is mogelijk geworden omdat de zeven fundamentele natuurconstanten die de grootheden van het oude SI-stelsel moesten vervangen ondertussen allemaal zeer nauwkeurig gekend zijn, namelijk met een relatieve onzekerheid van 1 tot 30 x 10-9, dit wil zeggen een onzekerheid van één tot 30 miljardsten van de waarde van de constante zelf. Een dergelijk hoge meetnauwkeurigheid bereiken is echter niet eenvoudig en hangt sterk af van de grootheid die gemeten moet worden, de tijd die aan de meting kan worden gespendeerd en/of het aantal keer dat de meting kan worden herhaald (wat de ‘statistische fout’ op het meetresultaat bepaalt). Ook de meetopstelling die gebruikt wordt is hiervoor cruciaal. Voor vele metingen, en zeker voor zeer nauwkeurige metingen, moeten vaak erg complexe meetopstellingen worden gebouwd. Dit heeft als nadeel dat de opstelling zelf het meetresultaat ook kan beïnvloeden. Wanneer bijvoorbeeld in een meting regelmatig een weerstand moet worden bepaald, maar de temperatuur tijdens de totale meettijd niet constant is, dan zal men rekening moeten houden met de temperatuurafhankelijkheid van die weerstand en daarvoor moeten corrigeren. Dit brengt ook een onzekerheid met zich mee, die men de ‘systematische fout’ noemt. De totale onzekerheid op het eindresultaat hangt dan af van de statistische fout én de systematische fout samen.

De overgang van het oude naar het nieuwe SI-stelsel is mogelijk geworden omdat de zeven fundamentele natuurconstanten die de grootheden van het oude SI-stelsel moesten vervangen ondertussen allemaal zeer nauwkeurig gekend zijn

Voor vele grootheden in de fysica zijn onzekerheden van enkele procenten of op zijn best enkele duizendsten van de gemeten waarde erg typisch. Een dergelijke nauwkeurigheid is echter ver onvoldoende om de waarde van fundamentele natuurconstanten te bepalen. Om een zeer hoge precisie te halen is het best om een meetmethode te kiezen of te ontwerpen waarbij een evenwichtssituatie moet worden gerealiseerd, zoals bij de Watt-balans het geval is, of waarbij een frequentie kan worden bepaald. In dit laatste geval kan men bijvoorbeeld achtereenvolgens verschillende frequenties op een systeem insturen en kijken bij welke frequentie het reageert. De frequentie waarbij dit gebeurt is karakteristiek voor het systeem en wordt de resonantiefrequentie van het systeem genoemd.

Een mooi voorbeeld van een meting waarbij een zeer hoge nauwkeurigheid wordt bereikt door een frequentie te meten is een zeer recente meting die verband houdt met de vraag waarom het heelal alleen materie bevat en blijkbaar geen antimaterie, terwijl op basis van de wetten van de fysica zou worden verwacht dat er bij de Big Bang evenveel van elk zou geproduceerd zijn. Eén van de mogelijke oorzaken wordt gezocht in een klein verschil in de eigenschappen van materie en antimaterie. Daarom worden tegenwoordig in gespecialiseerde laboratoria zoveel mogelijk verschillende eigenschappen van materie en antimaterie met elkaar vergeleken. In dit specifieke geval werden de magnetische eigenschappen van protonen (de elektrisch geladen deeltjes die binnen in de kern van atomen zitten) vergeleken met die van hun antideeltjes, antiprotonen (Ulmer). Dit gebeurde in het CERN laboratorium bij Genève in Zwitserland. Daar werd opgemeten met welke snelheid protonen en antiprotonen ronddraaien (een frequentie) in een magnetisch veld. Voor beide metingen werd identiek dezelfde meetopstelling gebruikt om zo de systematische meetfout minimaal te houden. Beide resultaten kwamen bijna exact overeen, met een maximale afwijking van maar 20 miljardsten van de twee gemeten waarden. Op dit niveau van nauwkeurigheid is het gedrag van materie en antimaterie in een magnetisch veld dus identiek. Een mogelijk verschil moet dus in een andere eigenschap van materie en antimaterie worden gezocht.

Omdat de zeven fundamentele natuurconstanten van het nieuwe SI-stelsel intussen allemaal zeer nauwkeurig gekend zijn, zal dit in november 2018, tijdens de 26e Conférence Générale de Poids et Mesures (CGPM) in Versailles, officieel worden aangenomen. Het prototype van de kilogram zal dan op rust worden gesteld, na liefst 130 jaar trouwe dienst. Om de overgang van het oude naar het nieuwe stelsel vlot te laten verlopen zullen de zeven fundamentele natuurconstanten van het nieuwe SI-stelsel worden uitgedrukt in termen van de eenheden in het oude stelsel.

Het SI-stelsel is na meer dan tweehonderd jaar al lang niet meer van belang voor de harmonisatie van de maten van gewicht, afstand en tijd in het dagelijkse leven, waarvoor het oorspronkelijk werd ingevoerd. Het prototype van de kilogram in Parijs en de vele kopieën ervan die intussen her en der over de wereld verspreid zijn, volstaan immers ruimschoots voor de nauwkeurigheid die nodig is in zo goed als alle dagelijkse toepassingen. Hetzelfde geldt voor de meter. Het nieuwe SI-stelsel is echter des te belangrijker voor hoogtechnologische toepassingen en wetenschappelijk onderzoek, waarbij een nauwkeurige vergelijkingsbasis nodig is. Dankzij de nauwkeurig gekende waarde van de constante van Planck (h) kan nu immers een massa van ongeveer één kilogram met behulp van een Watt-balans worden bepaald met een relatieve nauwkeurigheid van ongeveer 2 x 10-8, of ongeveer 20 microgram, zonder dat hiervoor een prototype voorwerp ter vergelijking nodig is. Op dezelfde manier kunnen met het nieuwe SI-stelsel, dat volledig gebaseerd zal zijn op zeven zeer nauwkeurig (relatieve nauwkeurigheden van enkele delen op 10-8 tot 10-9) gekende natuurconstanten, voortaan ook alle andere grootheden in wetenschap en technologie nauwkeurig worden bepaald zonder de nood tot vergelijking met een materieel referentievoorwerp.

Met dank aan Griet Ceulemans

Klaus Blaum et al., ‘Carbon clusters for absolute mass measurements at ISOLTRAP’, in: European Physical Journal, 2002, 9(1-2), 245-248.
Darine Haddad et al., ‘A precise instrument to determine the Planck constant and the future kilogram, in: Reviews of Scientific Instruments,2016, 87(article 061301).
Christian Smorra et al., ‘A parts-per-billion measurement of the antiproton magnetic moment’, in: Nature, 2017, 550 (7676), 371-374.

Nathal Severijns is verbonden aan de KU Leuven en zijn onderzoek als kernfysicus richt zich op precisiemetingen om de eigenschappen van de fundamentele natuurkrachten te bestuderen.