op 14 maart 2018 overleed de bekende Britse natuurkundige stephen hawking. de urne met zijn stoffelijk overschot werd onlangs bijgezet in de wetenschapshoek van westminster abbey en op zijn grafsteen werd zijn beroemde formule voor de temperatuur van zwarte gaten gegraveerd. hawkings afleiding van de entropie van zwarte gaten is een van de belangrijkste theoretische ontdekkingen in de twintigste-eeuwse natuurkunde.

De vrije hand. De erfenis van Hawking

Thomas Hertog

In 1974 ontdekte Stephen Hawking aan de hand van een spitsvondig gedachte-experiment dat zwarte gaten geen lege bodemloze putten zijn, zoals Einstein dacht, maar een gigantische hoeveelheid informatie opslaan. Hawking leidde bovendien een eenvoudige en heel precieze wiskundige formule af voor het aantal gigabytes, oftewel de maximale entropie S, die zwarte gaten herbergen:

De `Area’ in deze formule staat voor de grootte van het oppervlak van het zwarte gat. De andere symbolen zijn allemaal zogenaamde natuurconstanten: c staat voor de lichtsnelheid, GN is Isaac Newtons gravitatieconstante, h is Max Plancks kwantumconstante, en kB is Ludwig Boltzmanns constante voor de statistische mechanica. Als we de opslagcapaciteit aan de rechterkant van de gelijkheid meten in gigabytes, dan is kB = 10-9/3 log 2.

Hawking wilde deze formule graag op zijn grafsteen en zo geschiedde. Onlangs werd de urne met zijn stoffelijk overschot tijdens een `thanksgiving service’ bijgezet in de zogenaamde wetenschapshoek van Westminster Abbey. Hawking rust er in goed gezelschap, in de buurt van legendarische Britse wetenschappers als Isaac Newton, Michael Faraday, Paul Dirac en Charles Darwin. Op de deksteen werd Hawkings beroemde formule voor de temperatuur van zwarte gaten gegraveerd, die aan de basis ligt van bovenstaande universele formule voor hun opslagcapaciteit. Dit is overigens de tweede wiskundige formule die men voortaan in Westminster Abbey aantreft. Op Diracs grafsteen prijkt al de Dirac-vergelijking (1928), die het gedrag van deeltjes als quarks en protonen beschrijft en het bestaan van antimaterie voorspelt.

Hawkings berekening van de entropie vertelt ons dat zwarte gaten een enorme hoeveelheid informatie opslaan over hun ontstaansgeschiedenis en hun levensloop

Hawkings berekening van de entropie vertelt ons dat zwarte gaten een enorme hoeveelheid informatie opslaan over hun ontstaansgeschiedenis en hun levensloop. Zwarte gaten zijn veruit de meest efficiënte harde schijven in het heelal die we kennen. Alle gegevens in de databanken van Google kunnen worden opgeslagen in een zwart gat met een diameter van amper 10-25 cm. Sagittarius A*, het enorme zwarte gat in het centrum van de Melkweg, kan zomaar even 1080 gigabytes opslaan. Moest men de wet van Moore voor de exponentiële toename van de capaciteit van computerchips extrapoleren, dan zouden alle chips over drie eeuwen zwarte gaten zijn. Natuurlijk, eens informatie opgeslagen zit in een zwart gat, is het bijzonder moeilijk om die er opnieuw aan te onttrekken en te gebruiken.

Samen met Einsteins vergelijking voor de algemene relativiteitstheorie en Erwin Schrödingers vergelijking voor de kwantumtheorie is Hawkings afleiding van de entropie van zwarte gaten een van de belangrijkste theoretische ontdekkingen van de twintigste-eeuwse natuurkunde. In tegenstelling tot beide andere vergelijkingen, die welbepaalde deelgebieden van de natuurkunde beslaan, verenigt Hawkings resultaat heel verschillende takken van de fysica. Dit blijkt in de eerste plaats uit de aanwezigheid van haast alle belangrijke natuurconstanten in deze ene formule. Dit is vooralsnog de enige precieze formule in de hele natuurkunde die zowel Newtons gravitatieconstante GN als Plancks kwantumconstante h bevat. Hawkings gedachte-experiment met zwarte gaten was er precies op gericht om de relativiteitstheorie als het ware te confronteren met de kwantumtheorie. Het resultaat hiervan geeft ons een eerste glimp van een diepere realiteit waarin de macroscopische wereld van de zwaartekracht verweven is met de microscopische kwantumwereld van elementaire deeltjes en snaartjes in één allesomvattend wiskundig kader.

Maar wat zijn de mysterieuze kwantumchips waarin zwarte gaten gigabytes aan informatie opslaan? En waar bevinden ze zich? De theoretische beschrijving van zwarte gaten berust tot nader order op de algemene relativiteitstheorie, waarmee Einstein in 1915 een radicaal nieuwe beschrijving van de zwaartekracht gaf. Wat wij ervaren als de zwaartekracht, zo stelde Einstein, is eigenlijk geen kracht maar het resultaat van de buiging en de kromming van de ruimte. Denk even aan het vlak in de ruimte waarin de planeten rond de zon bewegen. Volgens de relativiteitstheorie beïnvloedt de massa van de zon de geometrie van dit vlak. Zij creëert als het ware een vallei in het ruimteweefsel in haar omgeving, waardoor de planeten als vanzelf rond de zon bewegen – als kogels in een reusachtig roulettewiel. ‘Matter tells space-time how to curve. Space-time tells matter how to move’, stelde Einstein, en dat is wat we ervaren als de zwaartekracht.

Tijd komt tot een einde in zwarte gaten. Ze zijn de ultieme apocalyps

Met zijn relativiteitstheorie bevrijdde Einstein begrippen als tijd en ruimte uit het domein van de metafysica waarin Newton hen had ondergebracht. Einstein maakte van de ruimte iets dynamisch. De transformatieve kracht van zijn wiskundige ideeën reikte echter veel verder dan hij zelf had vermoed én bereid was te aanvaarden. Zo werd vrijwel meteen duidelijk dat de relativiteitstheorie het bestaan van zwarte gaten voorspelt, gebieden waaruit niets kan ontsnappen en waarin onze gebruikelijke noties van tijd en ruimte niet opgaan. Tijd komt tot een einde in zwarte gaten. Ze zijn de ultieme apocalyps.
De sterrenkundige Karl Schwarzschild slaagde er in 1916 in om op basis van Einsteins nieuwe vergelijkingen een precieze beschrijving te geven van de kromming van de ruimte die ontstaat wanneer ze wordt vervormd door een bolvormig lichaam zoals de zon. Schwarzschilds oplossing toonde aan dat als je een willekeurig object voldoende samenperst – bijvoorbeeld de zon tot een bol met een diameter van slechts enkele kilometers – de kromming van de ruimte zo extreem wordt dat niets de verdere implosie tot een punt met een oneindige dichtheid nog een halt kan toeroepen en dat alles wat in de buurt komt, nooit meer kan ontsnappen. Er vormt zich een gebied rondom het object – wat we vandaag kennen als een zwart gat – waarin zelfs het licht wordt gevangengehouden en van waaruit daarom geen enkele communicatie met de buitenwereld mogelijk is. De rand van dit gebied, het oppervlak van het zwarte gat, is als een horizon. Zij vormt een heel fundamentele, causale scheiding tussen wat er zich afspeelt binnenin en in de rest van het heelal.

Aanvankelijk beschouwden wetenschappers Schwarzschilds zwarte gaten als een wiskundige eigenaardigheid van Einsteins theorie. Mettertijd werd echter duidelijk dat de implosie van de resterende materie aan het einde van de levenscyclus van voldoende zware sterren effectief tot de vorming van dergelijke zwarte gaten leidt. Het bestaan van stellaire zwarte gaten werd intussen bevestigd aan de hand van talrijke indirecte astronomische waarnemingen van gas en hemellichamen in hun directe omgeving en recent nog op spectaculaire wijze via waarnemingen van gravitatiegolven die worden opgewekt bij de versmelting van twee zwarte gaten (zie Thomas Hertog, ‘Rimpelingen van het ruimteweefsel’ in Karakter 56). Alleen al onze Melkweg telt wellicht vele miljoenen dergelijke zwarte gaten.

Met zijn gedachte-experiment confronteerde Hawking in de jaren 1970 de zwarte gaten van Einsteins relativiteit met de kwantumtheorie op microscopische schalen. Hij toonde op wiskundige gronden aan dat er leven is na Einsteins einde der tijden in zwarte gaten. Zwarte gaten zijn niet zo leeg en zwart als Einsteins relativiteitstheorie doet vermoeden. Hawking ontdekte dat kwantumprocessen zwarte gaten lichtjes doen stralen.

Zwarte gaten zijn niet zo leeg en zwart als Einsteins relativiteitstheorie doet vermoeden

Deze `Hawkingstraling’ volgt in wezen uit het onzekerheidsprincipe dat aan de grondslag ligt van de kwantumtheorie. De kwantumonzekerheid op microscopische schalen impliceert immers dat er voortdurend virtuele deeltjes ontstaan en verdwijnen in de lege ruimte. In de buurt van de horizon van een zwart gat echter, zo berekende Hawking, wordt een fractie van die virtuele deeltjes reëel. Dit was totaal onverwacht: ‘To my great surprise, near the surface of black holes, the virtual particles can become real’, schreef hij in 1974. Die reële deeltjes vormen samen een zachte gloed die opstijgt van de horizon van zwarte gaten, waarvan Hawking de temperatuur berekende.

De straling betekent dat zwarte gaten geen lege bodemloze putten zijn, zoals Einstein dacht, maar over een interne structuur beschikken waarin zij informatie opslaan over hun ontstaansgeschiedenis en waarmee we een entropie S associëren. Hawkings resultaat voor de entropie van zwarte gaten is echter bijzonder vreemd. We kennen de entropie immers als een extensieve grootheid die zich verhoudt tot het volume van een object. De entropie van zwarte gaten is echter proportioneel tot het oppervlak van de horizon van het zwarte gat. Dit wijst erop dat de kwantumchips van zwarte gaten zich alleen aan de rand bevinden, de informatie wordt geprojecteerd op de horizon. Zwarte gaten zijn, zo vermoeden we vandaag, fundamenteel holografisch. De notie van ruimte zou dan geen betekenis hebben ‘binnenin’. Het inwendige van een zwart gat bestaat niet.

De straling van zwarte gaten is veel te zwak om waar te nemen. De formule van Hawking heeft dan ook geen enkele experimentele of observationele ondersteuning. Ze is echter zo elegant en zo diep, dat niemand aan haar geldigheid twijfelt. Bovendien ligt een heel gelijkaardig kwantumproces aan de basis van de creatie van de zaden van sterren en sterrenstelsels in het jonge heelal, vlak na de oerknal, wat wel gedetailleerde observationele ondersteuning geniet.

Anderzijds leidt Hawkingstraling van zwarte gaten tot een belangrijke theoretische paradox – de zogenaamde ‘black hole information paradox’ – die tot op vandaag onopgelost blijft. De straling betekent immers dat zwarte gaten langzaam massa verliezen waardoor zij krimpen en uiteindelijk verdwijnen. Maar zij lijkt geenszins de informatie te bevatten die opgeslagen zit in de kwantumchips op de horizon. Wat gebeurt hiermee? Gaat deze informatie voorgoed verloren wanneer zwarte gaten verdampen? Dit zou radicaal in tegenstrijd zijn met de principes van de kwantumtheorie en dus de moderne natuurkunde in een fundamentele crisis storten. De toekomst in een heelal met zwarte gaten zou onvoorspelbaar worden, zoals Hawking zelf scherp stelde.

Mede omwille van die paradox wilde Hawking deze formule zo graag op zijn grafsteen. Ze heeft iets magisch. Ze roept meer nieuwe vragen op dan dat ze antwoorden geeft. Ze voelt na al die jaren nog steeds nieuw en onwennig. De identificatie van de kwantumchips van een zwart gat verantwoordelijk voor Hawkings entropie en hun lot bij de verdamping van een zwart gat is intussen uitgegroeid tot de heilige graal van de theoretische fysica.

Thomas Hertog is hoogleraar aan het Instituut voor Theoretische Fysica van de KU Leuven en lid van de Internationale Solvay Instituten voor Fysica en Chemie in Brussel. Zijn onderzoek spitst zich toe op de oerknal die hij bestudeert op basis van de snaartheorie. Hij is ook stichter en hoofd van het Center for Gravitational Waves van de KU Leuven en redacteur van Karakter.