Deel dit artikel

om inzicht te krijgen in de grote maatschappelijke uitdagingen van vandaag moet men open vragen durven stellen zonder een exact antwoord te verwachten. met elementaire berekeningen en afschattingen kan men tot een ruw antwoord komen. ‘guesstimation’ is dus een belangrijke vaardigheid. toch wordt ze in het huidige onderwijs in vlaanderen niet aangeleerd. het is dringend nodig dat aan leerlingen getoond wordt dat de ‘schoolse’ lessen wiskunde en fysica niet losstaan van wat er in het ‘echte’ leven gebeurt.

De vrije hand.
Guesstimation: aanzetten tot uitdagend (STEM-)onderwijs

Mieke de Cock

‘Stel dat we al het toiletpapier dat in de Verenigde Staten in een volledig jaar wordt gebruikt, zouden uitrollen, hoe ver zouden we geraken?’ Dit is een van de vele vragen in het boek Guesstimation 2.0 van Lawrence Weinstein. Het probleem lijkt in eerste instantie absurd. Waarom zou je geïnteresseerd zijn in het antwoord op die vraag? Maar kijken we even naar twee andere vragen die in het boek gesteld én beantwoord worden. ‘Hoeveel energie is er nodig om een lading van 1 ton met een vrachtwagen doorheen de Verenigde Staten te transporteren?’ Of: ‘Hoeveel ziekenwagens zijn er in de Verenigde Staten nodig opdat iedereen bij een noodgeval binnen de acht minuten kan worden bereikt?’ Dit zijn twee vragen zonder exact antwoord die wél relevant zijn. Om inzicht te krijgen in de grote maatschappelijke uitdagingen van vandaag – denk maar aan het energievraagstuk of aan de uitdagingen in de gezondheidszorg – kunnen veel van die vragen worden gesteld.

De drie vragen verschillen uiteraard van elkaar, maar vertonen toch ook enkele gelijkenissen. Voor de eerste vraag is weinig vakspecifieke kennis nodig. Om de twee andere te beantwoorden is enig inzicht in de concepten ‘energie’ en ‘snelheid’ wel handig. Voor alle drie moet je iets weten over de Verenigde Staten. Geen van de drie vragen heeft een exact gedefinieerd uniek juist antwoord. We willen ook niet altijd een exact antwoord, maar wel een idee van de grootteorde. Om de vragen te beantwoorden moet het probleem in deelproblemen worden gesplitst, moeten afschattingen worden gemaakt en moeten de deelproblemen opnieuw worden samengebracht. In Guesstimation 2.0 beantwoordt Weinstein een groot aantal van die open vragen met elementaire berekeningen en afschattingen – ‘on the back of a napkin’ – vaak op basis van enkele fysische wetmatigheden. Die geven telkens een ruw, geschat antwoord. Dergelijke open ‘guesstimation’-problemen staan ook wel bekend als ‘Fermi-problemen’, genoemd naar de bekende Italiaans-Amerikaanse natuurkundige Enrico Fermi (1901-1954). Hij blonk uit in het maken van snelle, excellente afschattingen op basis van weinig concrete gegevens en was ervan overtuigd dat ‘guesstimate’ een belangrijke vaardigheid voor fysici is. Hoewel ook leerlingen uit het laatste jaar secundair onderwijs dergelijke problemen zouden moeten kunnen oplossen, vinden we er weinig of geen terug in de handboeken fysica of wiskunde die in het Vlaamse secundair onderwijs worden gebruikt. Waarom niet? Is zo’n probleem niet relevanter dan het uitrekenen van de kracht op één van drie ladingen van 1 coulomb op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek?

Daarover lopen de meningen wellicht uiteen. De vraag over de ladingen is een typische oefening uit handboeken. Ze is duidelijk geformuleerd, vraagt een gerichte toepassing van één goed gedefinieerd concept en is exact op te lossen. Daarenboven zijn de berekeningen niet te moeilijk zodat de focus op de toepassing van het concept kan liggen: de lading van 1 coulomb rekent makkelijk, de gelijkzijdige driehoek maakt dat ook de berekeningen met de hoeken eenvoudig blijven. Alleen is een ladingsconfiguratie waarin echte puntladingen op de hoeken van een gelijkzijdige driehoek liggen niet erg realistisch. En een lading van 1 coulomb rekent weliswaar gemakkelijk, maar 1 coulomb is onredelijk groot.

We moeten voortdurend beslissingen nemen, op basis van informatie die we ter beschikking hebben

Tegenover die netjes afgebakende fysicaoefeningen staan Fermi-vragen, zoals die over de vrachtwagen of de ziekenwagen. Als het onderwijs leerlingen wil voorbereiden om in de toekomstige maatschappij te functioneren dan zou het hen moeten leren om dergelijke open vragen op te lossen. We moeten immers voortdurend beslissingen nemen, op basis van informatie die we ter beschikking hebben. Om te kunnen beslissen of een elektrische auto – die duurder is in aankoop – op termijn toch voordeliger is, moet je bijvoorbeeld weten hoeveel een auto op benzine verbruikt, hoeveel kilometer je ermee aflegt, hoeveel benzine kost, enzovoort. Die informatie moet je dan vergelijken met een analoge schatting voor de elektrische auto. Uiteraard kun je hier geen exact antwoord op formuleren. Dat is ook niet nodig. We moeten net genoeg weten om te kunnen beslissen wat we zullen doen. Is een elektrische auto veel voordeliger of veel duurder, dan is die beslissing niet moeilijk. Alleen als beide in elkaars buurt liggen, moeten we meer informatie verzamelen om een beslissing te kunnen nemen.

Dagelijks maken we dergelijke afwegingen bij beslissingen. We moeten leerlingen daar dus op voorbereiden, ook in het onderwijs. Daarom moeten we hen een aantal concepten bijbrengen (zoals wat ‘energie’ is). Dat moet en gebeurt in de klas. Alleen, we moeten die concepten ook in hun mogelijke context plaatsen. We moeten jongeren niet alleen leren hoe je de kinetische energie berekent van een geïdealiseerde puntmassa die wrijvingsloos schuift over een hellend vlak, we moeten ervoor zorgen dat ze datzelfde energieconcept ook in verband brengen met de vrachtwagen die de Verenigde Staten doorkruist en met de grote maatschappelijke uitdagingen van deze tijd. We moeten hen tonen dat de ‘schoolse’ leerstof uit de lessen wetenschappen en wiskunde niet losstaat van wat er in het ‘echte’ leven gebeurt. Naast de nodige wiskundige en wetenschappelijke concepten moeten we hen ook een manier van (wiskundig en wetenschappelijk) redeneren aanleren: leerlingen moeten leren een logische redenering en gedachtegang op te bouwen; verbanden te leggen, al dan niet oorzakelijk; op basis van feiten conclusies te trekken; veronderstellingen te maken en zich daarvan bewust te zijn. Naast kennis van en inzicht in basisconcepten moet het onderwijs dus ook essentiële denk- en redeneervaardigheden en communicatievaardigheden bijbrengen, leerlingen leren problemen aan te pakken en hen ondersteunen bij het ontwikkelen van kritische zin.

Naast kennis van en inzicht in basisconcepten moet het onderwijs ook essentiële denk- en redeneervaardigheden en communicatievaardigheden bijbrengen, leerlingen leren problemen aan te pakken en hen ondersteunen bij het ontwikkelen van kritische zin

Het is een stevige uitdaging, waar we in het onderwijs werk moeten van maken. Dat doen we niet door leerlingen tot in den treure invuloefeningen te laten maken, waarbij twee grootheden gegeven zijn en een derde kan worden gevonden door een formule in te vullen. Dat doen we niet door wiskundige en wetenschappelijke concepten geïsoleerd en abstract aan te brengen. Dat doen we ook niet door leerinhouden in hokjes te delen en leerlingen de indruk te geven dat een bepaald concept strikt in zo’n hokje hoort. We doen het al evenmin door leerlingen de indruk te geven dat elk probleem een uniek bepaalde oplossing met één juiste uitkomst heeft.

Onderzoek heeft ruimschoots aangetoond dat leerlingen de verbanden tussen verschillende vakken niet uit zichzelf leggen, dat ze moeten worden uitgedaagd om te kijken hoe concepten uit wiskunde bij fysica kunnen worden gebruikt, dat we hen moeten doen nadenken over de relatie tussen het energieconcept zoals ze dat leren bij fysica en energie in biologische processen. Kijken we bijvoorbeeld naar vakdidactisch onderzoek in fysica, het onderzoek dat op een gedetailleerde, systematische en empirische manier het leren en onderwijzen binnen het domein van de fysica bestudeert. Dergelijk onderzoek brengt inzicht bij in leer- en onderwijsprocessen om zo technieken en strategieën te kunnen ontwikkelen die het leren effectiever maken. Een van de grote thema’s binnen dit onderzoeksdomein is de samenhang tussen wiskunde en fysica. Vele fysische wetmatigheden worden immers beschreven met wiskundige verbanden en leerlingen moeten dus ook leren fysische concepten en verbanden op een wiskundige manier te formuleren. We stellen echter vast dat leerlingen het verband tussen beide domeinen erg moeilijk leggen.

Een concreet voorbeeld: in wiskunde bestuderen leerlingen lineaire functies. Ze drukken de functie symbolisch uit, maken kennis met de grafiek van dergelijke functies (een rechte), leren wat de richtingscoëfficiënt van die rechte is en ontdekken de betekenis ervan, namelijk de helling van de grafiek. In fysica bestuderen leerlingen de beweging van voorwerpen langs een recht pad. Als die beweging met een constante snelheid gebeurt, is de grafiek van de positie als functie van de tijd een rechte waarvan de helling de snelheid van de beweging is. Merkwaardig genoeg kunnen vele leerlingen wel de richtingscoëfficiënt van een rechte bepalen op basis van een (y)x-grafiek, maar niet de snelheid van een bewegend voorwerp als de beweging beschreven wordt met een (x)t-grafiek. Dat is niet alleen problematisch voor het verwerven van een diepgaand inzicht in de fysica, het doet vermoeden dat ook het toepassen van hetzelfde concept in bijvoorbeeld de economie lastig zal zijn. Als leerlingen een abstract concept dat ze geleerd hebben binnen één bepaald vak niet kunnen gebruiken in een ander schoolvak, zal de toepassing ervan buiten de schoolse context nog moeilijker zijn. Redeneringen in situaties zoals de vraag over de vrachtwagen zullen dan niet tot een goed einde worden gebracht. Het zijn echter die situaties die leerlingen zullen tegenkomen in het ‘echte’ leven. Voor alle duidelijkheid: dit is geen pleidooi om alle abstractie uit het onderwijs weg te halen. Integendeel. Wel om onderwijs op zo’n manier te ontwerpen dat het leerlingen helpt met het verwerven van abstracte concepten enerzijds én met het vertalen van die concepten naar allerlei (interdisciplinaire) toepassingen en relevante contexten anderzijds. Dat vraagt onderzoek waarbij nauwkeurig gekeken wordt naar waar de moeilijkheden net zitten en waarbij – op basis van dat onderzoek – onderwijs ontworpen, getest en aangepast wordt.

Er is veel onderzoek naar vakspecifieke aspecten waaruit we weten dat het leren (toepassen) van abstracte concepten allesbehalve evident is en dat het onderwijs zo moet worden ontworpen dat het inspeelt op de specifieke pre- en misconcepties van leerlingen. Daarnaast leert onderzoek ook dat leerlingen de relevantie van wetenschap (en wiskunde) niet altijd zien. De ROSE-studie (Relevance of Science Education) heeft aangetoond dat vele leerlingen niet zien hoe de wetenschappelijke concepten die ze leren op school relevant zijn voor de huidige maatschappelijke uitdagingen. PISA-resultaten (Programme for International Student Assessment) tonen aan dat, hoewel onze leerlingen het in deze peilingen nog steeds beter doen dan gemiddeld voor wetenschappen en wiskunde, ze maar weinig ambitie hebben en weinig gemotiveerd zijn om wetenschappelijke en wiskundige concepten diepgaand te doorgronden. Als Vlaanderen een kenniseconomie wil zijn en blijven, zullen we dit tij moeten keren. Daarvoor zullen we het onderwijs moeten blijven optimaliseren en herdenken, rekening houdend met resultaten uit wetenschappelijk onderzoek. Wat in de medische wereld bijna als vanzelfsprekend beschouwd wordt – wetenschappelijk onderzoek als ‘verantwoording’ voor een behandeling – is dat in het onderwijs helemaal niet. Er gebeurt nochtans veel (internationaal) onderzoek naar leer- en onderwijsprocessen in het algemeen en in vakspecifieke contexten, en het is erg spijtig dat de resultaten van dat onderzoek maar moeilijk hun weg vinden naar (de beleidsmakers van) het onderwijs.

STEM-onderwijs wil leerlingen – naast de afzonderlijke disciplines – ook de samenhang tussen de verschillende vakken tonen en op die manier de relevantie van de disciplines én het samenspel duidelijk maken

Een recente aanpak die een antwoord wil bieden op de hierboven aangehaalde uitdagingen en het wetenschaps- en wiskundeonderwijs verder wil verbeteren, legt de nadruk meer op het integreren van de verschillende domeinen: STEM-onderwijs (Science, Technology, Engineering and Mathematics) wil leerlingen – naast de afzonderlijke disciplines – ook de samenhang tussen de verschillende vakken tonen en op die manier de relevantie van de disciplines én het samenspel duidelijk maken. ‘STEM’ is het nieuwe modewoord, maar wat er onder verstaan wordt, hangt af van wie je het vraagt. Net omwille van die verscheidenheid en om scholen een referentiepunt te geven heeft de Vlaamse overheid een STEM-kader voor het Vlaamse Onderwijs geschreven (https://www.vlaanderen.be/nl/publicaties/detail/stem-kader-voor-het-vlaamse-onderwijs). In dit kader wordt een aantal dimensies beschreven die beschouwd worden als de kern van goed STEM-onderwijs. Als je dit kader leest, zie je dat het een antwoord kan bieden op een aantal van de hierboven geschetste problemen: het zet in op interactie en samengaan van de afzonderlijke STEM-componenten met respect voor de eigenheid van elke component, op probleemoplossend leren denken, op inzicht verwerven in maatschappelijke relevantie van STEM, op het belang van denken en redeneren, modelleren en abstraheren, …

Dit zijn natuurlijk mooie woorden, maar ze omzetten naar de klaspraktijk is nog een ander paar mouwen: hoe moet leermateriaal er dan uitzien, hoe moet het curriculum worden opgebouwd, welke didactiek moet worden gehanteerd, enzovoort? Om die vragen te beantwoorden moet nog veel bijkomend onderzoek gebeuren. Onze kinderen en jongeren zijn te veel waard om ‘gewoon iets te proberen’. We moeten door verder onderzoek inzicht verwerven in de beste vormgeving van onderwijs, zodat het erin slaagt alle kinderen en jongeren voor te bereiden op een verder leven in een voortdurend veranderende maatschappij. Eens we weten hoe we dat moeten doen, moeten we ook onze leraren voorbereiden op deze maatschappelijk belangrijke taak. Zij spelen immers een cruciale rol in de vorming van de jongeren. Het hele onderwijssysteem staat of valt met goede leraren. ‘The quality of an educational system cannot exceed the quality of its teachers.’ (Barber & Mourshed, McKinsey-rapport, 2007). We moeten dus grondig nadenken over welke competenties (toekomstige) leraren moeten beschikken en over hoe we hen blijvend ondersteunen bij het verwerven ervan.

Willen we dat leerlingen de verbanden tussen de vakken en met hun leefomgeving zien, dan zullen we hen moeten begeleiden door de juiste uitdagende opdrachten te geven die hen aanzetten hierover na te denken. Maar dan moeten we ook leraren vormen die enerzijds specialist zijn in hun eigen vak, en anderzijds in staat en vooral bereid zijn om met andere leraren te praten, te overleggen en onderwijs te maken; leraren die bereid zijn hun klasdeuren open te gooien zodat leerlingen niet denken dat de wet van actie en reactie enkel geldt in de fysicaklas. Dan moeten we onze leraren ook opleiden om samen te werken, om actief op zoek te gaan naar maatschappelijk relevante opdrachten en uitdagingen, om onderwijs te ontwerpen dat leerlingen aanspreekt maar vooral ook uitdaagt. Dan moeten we leraren opleiden die een kritische attitude met een brede kijk, met oog voor hoofd- en bijzaken, met eventuele twijfels, … ook echt ‘voorleven’ in de klaspraktijk. Leraren die leerlingen opdrachten durven geven waar het antwoord niet helemaal eenduidig is, waarbij een weliswaar beredeneerde afschatting moet gemaakt worden. Een guesstimation …

En voor de nieuwsgierigen onder ons: we geraken ongeveer van de aarde tot de zon met het uitgerolde toiletpapier, voor de vrachtwagen hebben we ongeveer 1011 joule energie nodig (of 4000 l diesel), en om bij een noodgeval alle VS-burgers binnen de acht minuten te bereiken, moeten er ongeveer 20 000 ziekenwagens worden voorzien.

Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0. Solving Today’s Problems on the Back of a Napkin. (Princeton: Princeton University Press, 2012).

Mieke De Cock is hoogleraar aan het Departement Natuurkunde en Sterrenkunde waar ze verantwoordelijk is voor de lerarenopleiding Fysica en onderzoek doet naar het leren en onderwijzen van natuurkunde en sterrenkunde.

Deel dit artikel
Gerelateerde artikelen