Deel dit artikel

De Amerikaanse wiskundige John Milnor werd in 2011 bekroond met de Abelprijs, die qua prestige de Nobelprijs voor wiskunde kan worden genoemd. Hij kreeg de onderscheiding voor zijn baanbrekende studies in de meetkunde, de topologie en de algebra. Het meest tot de verbeelding spreekt zijn ontdekking van het bestaan van exotische differentiaalstructuren op de zevendimensionale sfeer.

John Milnor

Een Abelprijs voor exotische sferen

franki dillen

Er bestaat geen Nobelprijs voor de wiskunde. Over het waarom doen allerlei verhalen de ronde. De meest exotische theorie vermeldt een vrouwenkwestie, maar die is op weinig meer dan roddels gebaseerd. Wellicht vond Alfred Nobel de wiskunde als tak van de wetenschap gewoon niet belangrijk genoeg, of niet onmiddellijk van toepassing op zijn eigen werk. Om het ontbreken van een Nobelprijs op te vangen besliste het Internationaal Wiskundecongres in 1932 dat vanaf 1936 Fieldsmedailles zouden worden uitgereikt tijdens het congres, dat elke vier jaar en telkens in een ander land wordt georganiseerd. Een belangrijk verschil met de Nobelprijzen is dat Fieldsmedailles niet alleen worden uitgereikt voor geleverde prestaties, maar ook toekomstig werk willen stimuleren. Daarom moeten alle winnaars jonger zijn dan veertig. De Fieldsmedaille is intussen een belangrijke prijs geworden, maar omwille van de leeftijdsgrens, de vierjaarlijkse uitreikingen en het relatief beperkte prijzengeld heeft hij niet de uitstraling van een Nobelprijs. In 2003 vulde de Noorse Academie voor Wetenschappen en Letteren de lacune en riep de Abelprijs in het leven, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Deze prijs komt in elk opzicht het dichtst in de buurt van de Nobelprijs.

Voor John Milnor maakte het allemaal niet veel uit: hij won zowel de Fieldsmedaille (in 1962) als de Abelprijs (in 2011), en tussendoor ook nog de Wolfprijs in 1989 en tal van andere prijzen. John Willard Milnor is een Amerikaanse wiskundige, die zijn opleiding genoot in Princeton, waar hij in 1954 zijn doctoraat behaalde met een thesis over ‘Isotopy of Links’. Zijn talent was zo overweldigend dat Princeton hem in 1953 al benoemde, nog voor hij zijn doctoraat had afgewerkt. Hij bekleedde tijdelijke posities aan UCLA en MIT, en was vicevoorzitter van de Amerikaanse wiskundevereniging AMS. In 1989 werd hij de eerste Director van het Institute for Mathematical Sciences van de Stony Brook University in New York, waar hij nu Distinguished Professor en Co-Director is. John Milnor ontving de Abelprijs voor zijn baanbrekende ontdekkingen in meetkunde, topologie en algebra. Wellicht spreekt zijn ontdekking van het bestaan van exotische differentiaalstructuren op de zevendimensionale sfeer het meest tot de verbeelding. Dit werk van Milnor heeft geleid tot het ontstaan van een heel nieuw domein in de wiskunde: de differentiaaltopologie. In vele cursussen differentiaaltopologie wordt Milnors boekje Topology from the Differentiable Viewpoint gebruikt als belangrijkste bron.

Milnors werk heeft geleid tot het ontstaan van een heel nieuw domein in de wiskunde: de differentiaaltopologie

Waarom is Milnor zo’n grote naam in de wiskunde? Zijn werk is van belang voor verschillende domeinen in de wiskunde, maar ik wil me hier beperken tot een kleine selectie van zijn werk en vooral zijn aandeel in de topologie beschrijven. Zijn werk in de algebra en zijn meer recente werk over dynamische systemen zal verder niet meer worden vermeld. Ik wil wel nog even kort verwijzen naar Milnors allereerste publicatie, waarin hij een fundamenteel probleem uit de differentiaalmeetkunde oplost. In oktober 1949 – Milnor was toen achttien – kreeg hij het bericht dat zijn artikel ‘On the Total Curvature of Knots’ aanvaard was voor publicatie in het tijdschrift Annals of Mathematics, dat ook nu nog een absoluut toptijdschrift is. Beter kan een carrière moeilijk beginnen. In het artikel levert Milnor het bewijs van wat we nu kennen als ‘de stelling van Fary-Milnor’. De stelling zegt dat de totale kromming van een geknoopte kromme groter is dan 4p. Hierbij hoort een woordje uitleg.

Een kromme in de ruimte kun je voorstellen als een stukje metaaldraad dat je plooit tot een zekere vorm in de ruimte. Een wiskundige zal hierbij de dikte van de draad verwaarlozen. De kromming op één plaats van de kromme is dan een getal dat aangeeft hoe sterk je hebt moeten plooien op die plaats om de gewenste vorm te krijgen. Dat getal zal afhangen van de plaats op de kromme. Voor een rechte is de kromming constant gelijk aan nul. Voor een cirkel moet je overal even sterk plooien en is de kromming dus constant, maar niet nul. Voor een kleine cirkel moet je sterker plooien dan voor een grote cirkel: de kromming van een cirkel met straal R is gelijk aan 1/R. De totale kromming van een kromme is alle kromming van die kromme bij elkaar geteld (meer precies: de integraal van de krommingsfunctie over de hele kromme). Een cirkel met straal R heeft omtrek 2pR en kromming 1/R. Daarom is de totale kromming gelijk aan (2πR)x(1/R)=2p. Men kan aantonen dat ook elke ovaal een totale kromming van 2p heeft. Een knoop krijg je door de twee uiteinden van de metaaldraad aan elkaar te solderen. Een knoop kan heel ingewikkeld in elkaar gedraaid zitten. Een cirkel is in principe ook een knoop, maar dan een heel eenvoudige: we zijn vertrokken van een recht stukje draad en hebben alleen de uiteinden aan elkaar gehecht, voor de rest is er niets met de kromme gebeurd. We noemen een cirkel daarom een valse knoop. Als je een knoop kunt ontplooien tot je een cirkel krijgt, zonder eerst de soldering te verbreken, dan beschouwen we die knoop ook als een valse knoop. Milnor bewees dat de totale kromming van een niet-valse knoop groter is dan 4p. Met andere woorden: je moet zeker meer dan de kromming van twee cirkels gebruiken om een echte knoop te krijgen.

Het belangrijkste werk van Milnor behoort tot het domein van de topologie. Zijn grootste bijdrage hier is zijn ontdekking van de exotische zevensfeer. Milnor bewees in 1956 het bestaan van een exotische differentiaalstructuur op een zevendimensionale sfeer. Ik doe een poging om alle begrippen uit de vorige twee zinnen kort uit te leggen. Laten we beginnen met het begrip zevensfeer. Een n-sfeer met middelpunt P en straal R definieert men als de verzameling van punten in de (n+1)-dimensionale euclidische ruimte die op afstand R van het punt P liggen. Een éénsfeer is dus een gewone cirkel in het vlak, en een tweesfeer een boloppervlak in de driedimensionale ruimte. Een n-sfeer met middelpunt P=(0,…0) en straal 1 wordt gevormd door alle punten met coördinaten (x_0,…,x_n) die voldoen aan x_0^2+x_1^2+…+x_n^2=1.

In de topologie bestudeert men eigenschappen die onveranderlijk blijven onder continue vervormingen. Dit zijn vervormingen die een object bijvoorbeeld uitrekken of indeuken zonder er scheuren of gaten in te maken. Zo kan men een voetbal (een tweesfeer) continu vervormen tot een rugbybal. Objecten die men met een continue deformatie in elkaar kan vervormen noemen we homeomorf. Met een beetje verbeelding kun je je voorstellen dat je een bierglas met één oor continu kunt vervormen tot het de vorm van een fietsband (een torus) heeft, door het oor groter en groter te maken tot er niets meer van het glas zelf overblijft. Je kunt het niet vervormen tot het de vorm van een voetbal heeft, of de vorm van een pot van Olen met drie oren. Om het werk van Milnor te beschrijven hebben we echter een tweede soort deformaties nodig en een klasse van objecten die we gladde objecten noemen (waarbij ‘glad’ de vertaling is van het Engelse ‘smooth’). In de wiskunde noemen we dergelijke objecten differentiaalvariëteiten. Typische voorbeelden zijn een n-sfeer en een torus. Een glad object heeft geen kreuken, geen scherpe kanten of hoeken. Preciezer: bij een glad object kun je in elk punt van het object het raakvlak aan het object bepalen. Een kubus is bijvoorbeeld niet glad op zijn ribben en hoekpunten. Het belangrijkste kenmerk van differentiaalvariëteiten is dat functies tussen differentiaalvariëteiten kunnen worden afgeleid (gedifferentieerd), op een analoge manier als gewone reële functies kunnen worden afgeleid, zoals de meeste leerlingen in het middelbaar onderwijs hebben geleerd. De voorschriften die bepalen welke functies op welke kunnen worden afgeleid noemen we de differentiaalstructuur op de differentiaalvariëteit.

Milnor toonde aan dat op een zevensfeer meer dan één verschillende differentiaalstructuur kan worden gelegd

Een gladde vervorming is een vervorming die niet alleen geen gaten of scheuren maakt, maar ook geen plooien of hoeken. Je kunt bijvoorbeeld een cirkel continu vervormen tot een vierkant, maar die deformatie is niet glad. Twee gladde objecten die met een gladde deformatie in elkaar vervormd kunnen worden noemen we diffeomorf. De differentiaalstructuren van diffeomorfe differentiaalvariëteiten noemen we equivalent. Een exotische zevensfeer, zoals beschreven door Milnor, is een differentiaalvariëteit die homeomorf is met een zevensfeer maar niet diffeomorf. Anders geformuleerd: Milnor toonde aan dat op een zevensfeer meer dan één verschillende differentiaalstructuur kan worden gelegd, dat op een zevensfeer verschillende manieren van afleiden bestaan. Het bestaan van een differentiaalstructuur op een zevensfeer die niet equivalent is met de gewone structuur was ook voor Milnor een verrassing. Immers, als je een glad object continu kunt vervormen in een ander glad object, waarbij tijdens de deformatie kreuken ontstaan, waarom kun je die kreuken onderweg dan niet gladstrijken? Dit lukt in dimensie 1 en 2, maar niet altijd in hogere dimensies. Door kreuken glad te strijken creëer je als het ware kreuken op andere plaatsen en je zult niet altijd alle kreuken kunnen elimineren. Enkele jaren later toonden Milnor en Kervaire aan dat er precies 28 verschillende differentiaalstructuren op de zevensfeer bestaan. Voor dimensies 1, 2, 3, 5 en 6 bestaat slechts één differentiaalstructuur. Voor de viersfeer is nog niet geweten hoeveel verschillende differentiaalstructuren bestaan. Dit probleem wordt het vierdimensionale gladde Poincaré-vermoeden genoemd.

Zelfs voor wiskundigen zijn exotische sferen niet makkelijk te begrijpen. Ik waag toch een poging om een constructie te beschrijven, die niet de originele constructie van Milnor is, maar wel hetzelfde resultaat geeft. Deze constructie is in zekere zin vergelijkbaar met de constructie van een Möbiusband. Stel dat we vertrekken van een lange smalle strook papier waarvan we de uiteinden aan elkaar plakken met een stukje plakband, zodat we een smalle rol krijgen (een cilinder). Als we deze cilinder helemaal willen kleuren, zowel de binnen- als de buitenkant, dan zijn we verplicht op een bepaald ogenblik het kleurpotlood op te heffen om van de ene naar de andere kant te gaan. We knippen nu de cilinder terug door langs het stukje plakband, en plakken de uiteinden opnieuw aan elkaar, na eerst één van de uiteinden een halve slag gedraaid te hebben. Het object dat we dan verkrijgen is een band van Möbius. We zijn zeker dat het niet opnieuw een cilinder is, want als we het nieuwe object een andere kleur willen geven, dan kunnen we dat in één keer doen, zonder ons potlood op te heffen van het papier: de band van Möbius heeft immers maar één kant. Als we een object doorknippen en vervolgens op een andere manier terug aan elkaar plakken, kunnen we dus een nieuw object verkrijgen dat niet meer dezelfde eigenschappen heeft. De constructie van een exotische zevensfeer gaat analoog. Knip de zevensfeer doormidden langs de evenaar (dit is in deze dimensie een zessfeer). We krijgen dan twee halve zevensferen met allebei een zessfeer als rand, die we terug aan elkaar plakken, na eerst te bepalen welk punt van de ene zessfeer we aan welk punt van de andere zessfeer plakken. Dit beschrijven we door een functie van de zessfeer naar de zessfeer. Door deze functie juist te kiezen kunnen we ervoor zorgen dat het nieuwe object glad is en homeomorf met de zevensfeer, maar niet diffeomorf met de zevensfeer.

Milnor is verder ook bekend voor zijn classificatie van de zogenaamde parallelliseerbare sferen. Om te begrijpen waarover dit gaat moet ik eerst kort een klassieke stelling beschrijven, die lang voor Milnor door Brouwer werd bewezen. Deze stelling gaat over vectorvelden op sferen, dus beginnen we met een korte uitleg over raakvectoren en vectorvelden. Eerst de éénsfeer: stel je een deeltje voor dat langs een cirkel beweegt en beschouw dan de snelheidsvector van deze beweging in een willekeurig punt van de cirkel. Eén dergelijke snelheidsvector noemen we een raakvector in een punt aan de cirkel. Alle snelheidsvectoren samen vormen een vectorveld. Als we een deeltje bijvoorbeeld in tegenwijzerzin rond een cirkel laten bewegen met constante snelheid 1, dan zal het bijbehorende vectorveld in elk punt een raakvector bepalen met lengte 1, en dus in het bijzonder een raakvector die niet de nulvector is. In het algemeen is een vectorveld een regel die aan elk punt van een n-sfeer (of meer algemeen van een differentiaalvariëteit) een raakvector in dat punt (een vector uit het raakvlak in dat punt) toewijst. Een vectorveld dat nergens nul is, is dan een vectorveld dat aan geen enkel punt de nulvector toewijst, zoals het vectorveld op de éénsfeer dat hierboven beschreven is.

Men kan zich afvragen of er op een n-sfeer een vectorveld bestaat dat nergens nul is. Het antwoord hangt af van de dimensie van de sfeer. Voor een cirkel bestaat een vectorveld dat nergens nul is altijd, zoals we juist beschreven hebben. Een andere manier om dit in te zien is door de cirkel met de oorsprong als middelpunt te beschouwen in het vlak van de complexe getallen. Als z een punt is van de cirkel, en i is de imaginaire eenheid (i²=-1), dan is iz een vector die raakt in z aan de cirkel. Een analoge constructie kunnen we maken voor alle onevendimensionale sferen. Maar het verhaal gaat niet op voor evendimensionale sferen en Brouwer bewees dat elk vectorveld op een evendimensionale sfeer ergens op die sfeer nul is. Voor de tweesfeer wordt deze laatste stelling ‘Hairy Ball Theorem’ genoemd. De naam komt van een ludieke interpretatie van de stelling: beschouw een harig bolvormig wezen, waarbij de haartjes de rol van vectoren spelen (je kunt er eventueel de pijltjes bij denken), en door het platkammen van de haartjes, maak je de vectoren rakend aan de sfeer. De stelling zegt dan dat als je het haar van een harig bolvormig wezen plat wil kammen, je altijd wel ergens een weerborstel zal creëren. Kam je die weerborstel toch plat, dan zal er elders een andere weerborstel ontstaan. Of neem een ander beeld: als de tweesfeer het aardoppervlak voorstelt, en het vectorveld de windrichting, dan volgt uit de stelling dat het op elk ogenblik ergens op aarde windstil is. Maar nogmaals, deze stelling kan niet worden toegeschreven aan Milnor, hoewel hij er een elementair bewijs voor vond, en ook niet aan Harry Ball, zoals een student ooit beweerde op een examen.

Milnor gaf een antwoord op de vraag welke sferen parallelliseerbaar zijn

Milnor bewees een sterker resultaat. Hij gaf een antwoord op de vraag welke sferen parallelliseerbaar zijn. Een n-sfeer noemen we parallelliseerbaar als er n onafhankelijke vectorvelden op die sfeer bestaan (die dan automatisch nergens nul zijn). De éénsfeer (de cirkel) is duidelijk parallelliseerbaar: we hebben maar één vectorveld nodig dat nergens nul is. Evendimensionale sferen kunnen natuurlijk niet parallelliseerbaar zijn. Milnor bewees in 1958 dat S1, S3 en S7 de enige parallelliseerbare sferen zijn.

Het is onmogelijk het hele werk van Milnor te beschrijven in een kort essay, zeker als het ook nog een beetje toegankelijk moet zijn voor wiskundeleken. De richtlijnen voor een nominatie voor de Abelprijs schrijven voor dat de genomineerde een uitzonderlijk diepe bijdrage heeft geleverd aan de wiskunde. Het kan gaan over de oplossing van een fundamenteel probleem, de creatie van krachtige nieuwe technieken of over pionierswerk bij het ontstaan van een nieuwe discipline. Ik hoop dat mijn beperkte persoonlijke selectie voldoende duidelijk maakt dat John Milnor dan ook heel terecht de Abelprijs heeft ontvangen. Hij is één van de belangrijkste wiskundigen van de twintigste eeuw en zal nog lang een bron van inspiratie zijn voor onderzoekers van alle leeftijden.

Op 24 mei 2011 ontving John Milnor de Abelprijs. http://www.abelprisen.no/en/prisvinnere/2011/

Franki Dillen is als wiskundige verbonden aan de KU Leuven.

Deel dit artikel
Gerelateerde artikelen