Deel dit artikel

in het dagelijkse taalgebruik verschijnt het begrip ‘oneindig’ als de negatie van het ‘eindige’. het eindige is meetbaar in al zijn dimensies, het oneindige is dat niet bij gebrek aan gepaste maateenheden. daarom ontleent het oneindige zijn betekenis eerder aan de beschrijving van wat het niet is. in beyond infinity legt de engelse wiskundige eugenia cheng uit welke betekenis het begrip ‘oneindig’ verwerft in diverse domeinen van de wiskunde.

Voorbij oneindig

Rik Verhulst

In de wiskunde treedt het concept ‘oneindig’ op in verschillende contexten, zoals die van de kardinaalgetallen (א) en ordinaalgetallen (ω), in de topologie en de analyse (+∞ en -∞) en in de meetkunde (∞). In dit artikel beperken we ons tot een schets van hoe het oneindige binnentreedt in het domein van de talrijkheden (de kardinaalgetallen) en in de wereld van de geordende rijen (de ordinaalgetallen). Het merkwaardigste is dat er verschillende oneindigheden bestaan op beide terreinen, zonder dat er daarbij een grootste is. Dit klinkt paradoxaal en aanvankelijk bleken bij de creatie van deze monsters ook anomalieën op te treden die men de baas probeerde te blijven door een gedisciplineerde aanpak. De zogenaamde formalisten, intuïtionisten en logicisten deden dit op verschillende manieren.

De formalisten staan niet stil bij het eigenlijke wezen van het oneindige, maar introduceren het louter als een symbool dat gemanipuleerd wordt volgens bepaalde regels. Dit symbool ontleent dan impliciet zijn betekenis aan die regels, zoals alle andere objecten van een axiomatisch-deductieve theorie. De intuïtionisten aanvaarden wel de voortdurende herhaling van een algoritme of constructie maar niet als voltooiing van een eindeloos proces. Ze wijzen, net als Aristoteles, het bestaan van het actueel oneindige af en omarmen het potentieel oneindige. Zo ontstaan er wel ernstige problemen, zoals bij de reële getallen. Men kan bijvoorbeeld met een wel gedefinieerd algoritme voor de berekening van het getal pi (verhouding van de omtrek van een cirkel tot een middellijn) vroeg of laat ‘om het even welk decimaal’ bepalen, maar toch nooit ‘allemaal’, waardoor pi de voorlopige natuur van een ‘number in progress’ krijgt. De logicisten werden in hun benadering van het oneindige de pas afgesneden door de – sindsdien beroemde – onvolledigheidsstelling van de Oostenrijks-Amerikaanse wiskundige Kurt Gödel (1906-1978). Hij slaagde erin om in de rekenkunde van de natuurlijke getallen een uitspraak te construeren die van zichzelf zegt dat ze onbewijsbaar is. Stel dat voor die uitspraak een bewijs zou bestaan, dan zou meteen ook een bewijs voor de ontkenning ervan geleverd zijn, wat een tegenspraak geeft die de theorie inconsistent zou maken. Om dit tegen te gaan moet men accepteren dat de uitspraak wel waar is, maar net als haar ontkenning zonder bewijs moet blijven. Ze is onbeslisbaar en dus is de rekenkunde onvolledig. Gödel toonde zo aan dat niet alle ware uitspraken in de theorie bewijsbaar zijn en dat logica niet volledig kan samenvallen met wiskunde. Wiskundigen hebben dan ook leren leven met onbeslisbaarheid en onvolledigheid. ‘We kunnen bewijzen dat we niet alles kunnen bewijzen.’

Het merkwaardigste is dat er verschillende oneindigheden bestaan in het domein van de talrijkheden en in de wereld van de geordende rijen, zonder dat er daarbij een grootste is

In haar boek Beyond Infinity gaat de Engelse wiskundige Eugenia Cheng in op diverse aspecten van het oneindige. Vertrekkend van de naïeve misvattingen van de leek laat zij geleidelijk aan en in een onderhoudende en heldere stijl zien hoe het begrip ‘oneindig’ zijn status verwerft in diverse domeinen. Over het oneindige valt zoveel te vertellen dat zelfs Cheng in haar boek van 280 bladzijden niet de ambitie heeft om het onderwerp volledig uit te putten. Het wordt dus niet makkelijk om in dit beperkte artikel een behoorlijke schets ervan te brengen.

Kardinaalgetallen en Ordinaalgetallen

Met natuurlijke getallen kan men eindige verzamelingen zowel tellen als ordenen. Ze treden respectievelijk op als kardinaalgetallen, die het aantal elementen van die verzamelingen kenmerken, en als ordinaalgetallen, die het welgeordend zijn van die verzamelingen karakteriseren. Een welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke deelverzameling een kleinste element bezit. Alle rijen van natuurlijke getallen zijn dus welgeordend.

Er bestaat een elegante constructie van de verzameling van de natuurlijke getallen waarbij zowel het kardinale als het ordinale aspect aan bod komt. Hierbij wordt een natuurlijk getal, ook 0, gedefinieerd als de verzameling van zijn voorgangers. 0 heeft geen voorgangers dus:

0 = {  }, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, 4 = {0,1,2,3}, …

We construeren zo de oneindige verzame­ling van de natuurlijke getallen          {0, 1, 2, 3, …, n, …} die we voorstellen door N. Door haar constructie zelf kan die verzameling N worden geordend in een oneindige rij. Met de natuur­lijke getallen als typeverzamelingen en typerijen kunnen we willekeurige verzamelingen tellen en ordenen. Daartoe moeten we twee relaties definië­ren tussen verzamelingen, namelijk die ‘evenveel’ elementen bevatten en die ‘minder’ elementen bevatten dan een andere verzameling. We zeggen dat twee verzamelingen A en B evenveel elementen bevatten (gelijkmachtig zijn) als en alleen als er een één-één-verband tussen hun ele­menten bestaat, dus als elk element van A overeenstemt met een ele­ment van B en omgekeerd. We zeggen ook dat er dan een bijectie bestaat tussen A en B. Bijvoorbeeld: de verzameling van de klinkers van het alfabet K={a,e,i,o,u} is gelijkmachtig met 5={0,1,2,3,4}, er bestaat immers een bijectie van K op 5, namelijk

We noemen 5 het kardinaalgetal van K en noteren dat # K = 5. Zo doen de natuurlijke getallen dienst als kardinaalgetallen van de eindige verzamelingen.

Het aftelbaar oneindige als kardinaalgetal van N

Elk natuurlijk getal heeft een opvolger, we beschikken dus ook al over een oneindige verzameling:  N = {0,1,2,3,4,5, …, n, …} We noemen het kardinaalgetal van N ‘aleph nul’ en stellen dit voor door ℵ₀. Elke oneindige verzameling die gelijkmachtig is met N heeft dan ook kardi­naalgetal ℵ₀. We noemen dergelijke verzamelingen ‘aftelbare verzamelin­gen’ omdat hun elementen bijectief kunnen worden gekoppeld aan de natuurlijke getallen. Ze vormen het allereerste type van oneindige verzamelingen. De verzameling van de even natuurlijke getallen E = {0, 2, 4, 6, 8, …, 2n, …} bevat bijvoorbeeld evenveel elementen als de verzameling van de natuurlijke getallen want er bestaat een bijectie tussen N en E, namelijk

E heeft dus kardi­naalgetal ℵ₀. Samen met Galilei kunnen we ons verbazen over het feit dat een echte deelver­zameling van N zoals E, waarbij zelfs oneindig veel elementen van N zijn weggelaten, evenveel elementen blijft hebben als N zelf. Dat is echter juist kenmerkend voor oneindige verzamelingen. De Duitse wiskundige Richard Dedekind (1831-1916) heeft dit specifieke kenmerk – een echte deelverza­meling hebben die gelijkmachtig is met de verzameling zelf – als definitie genomen voor een oneindige verzameling.

Transfiniete kardinaalgetallen. De stelling van Cantor

Niet alle verzamelingen zijn gelijkmachtig. Een verzameling A be­vat minder elementen dan een verzameling B als men met elk element van A wel een element van B kan laten overeenstemmen, maar er daarbij steeds nog elementen van B overblijven. We zeggen dan dat het kardinaalgetal van A (strikt) kleiner is dan dat van B, en noteren dit: #A < #B. Een afbeelding van een verzameling A in een verzameling B die twee ver­schillende elementen van A afbeeldt op twee verschillende elementen van B, waarbij eventueel niet alle elementen van B bereikt worden, noemen we een injectie van A in B. Omdat in het bijzonder bijecties ook injecties zijn, zeggen we dat het kardinaalgetal van A (strikt) kleiner is dan dat van B als en alleen als geen enkele injectie van A in B een bijectie is.

Hier belanden we bij de opzienbarende stelling van Cantor, die in de geschiedenis van de wiskunde voor veel opschudding heeft gezorgd. Bij elke verzameling V, eindig of oneindig, kunnen we een nieuwe verzame­ling construeren, namelijk de verzameling van zijn deelverzamelingen D(V). De stelling van Cantor zegt dat het kardinaalgetal van V (strikt) kleiner is dan dat van  D(V). Bijvoorbeeld: als V ={a,b,c} dan is D(V)  = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Merk op dat A drie elementen bevat en D(V) acht. Voor de vorming van een deelverzameling van A heeft men immers voor elk van de drie elementen van A twee keuzen: het opnemen in de deelverzameling, of niet. Men kan dus 2 . 2 . 2 = 2³ = acht deelverzamelingen vormen met drie elementen. Zo heeft een verzameling met vier elementen 2⁴ = zestien deelverzamelingen en meer algemeen een verzameling met n elementen 2ⁿ deelverzamelingen. Uit dit voorbeeld blijkt dat het kardinaalgetal van V (strikt) kleiner is dan dat van D(V).

De stelling van Cantor heeft het ongelofelijke gevolg dat men oneindige verzamelin­gen kan creëren die een steeds grotere machtigheid hebben en waarbij er geen sprake is van een talrijkste verzameling

Het bewijs van deze stelling van Cantor is ook toepasselijk op oneindige verzamelingen. Ze heeft dus het ongelofelijke gevolg dat men oneindige verzamelin­gen kan creëren die een steeds grotere machtigheid hebben en waarbij er geen sprake is van een talrijkste verzameling. Volgens de stelling worden immers de volgende kardinaalgetallen steeds maar groter en groter:

#N  <  #D(N)  <  #D(D(N))   <  #D(D(D(N)))   <   …

Omdat de stelling van Cantor en haar gevolgen voor zoveel consternatie hebben gezorgd en op ongeloof werden onthaald, geven we er hier een bewijs van. We maken daarbij een algemene redene­ring waarvan we de verschillende stappen illustreren op een voor­beeld met V = {a,b,c}. We moeten dus aantonen dat geen enkele injectie van V in D(V) een bijectie kan zijn, dus dat geen enkele injectie i van V in D(V) alle elementen van D(V)  bereikt. Er zal steeds minstens één deelverzameling zijn in  D(V)  die niet door i bereikt wordt.

Nemen we een willekeurige injectie i van V in D(V).  Bijvoorbeeld:

i beeldt a af op {b, c},  a behoort niet tot zijn beeld, we noemen a een ‘verrader’

i beeldt b af op {a,b,c}, b behoort tot zijn beeld, we noemen b een ‘handlanger’

i beeldt c af op {a, b}, c behoort niet tot zijn beeld, dus c is ook een ‘verrader’.

Zo is voor een gegeven injectie i elk element van V ofwel een ‘handlanger‘ ofwel een ‘verrader’. Beschouwen we nu de verzameling van de ‘verraders’. Dat is dan een deelver­zameling van V en dus een element van D(V). In het voorbeeld is dit {a, c}. We tonen aan dat de deelverzameling van de ‘verraders’ onmogelijk door i kan worden bereikt want ofwel wordt op die deelverzameling een ‘handlanger’ afgebeeld, maar dan zou die tot zijn beeld moeten behoren en dat is onmogelijk want de deelverzameling bevat alleen ‘verraders’;  ofwel wordt op die deelverzameling een ‘verrader’ gezonden, maar dan zou die niet tot zijn beeld mogen behoren en de deelverzameling bevat juist alle verraders. Vermits V alleen maar ‘handlangers’ of ‘verraders’ bevat, wordt er dus geen enkel element van V door i op de verzameling van de verraders afgebeeld. De injectie i is dus geen bijectie. In het voorbeeld wordt inderdaad geen enkel element van V door i op {a, c} afgebeeld. Die redenering kunnen we voor elke injectie van V in D(V) herhalen. Daarmee is de stelling bewezen: het kardinaalgetal van een verzameling V is steeds (strikt) kleiner dan het kardinaalgetal van de verzameling van zijn deelverzamelingen D(V).

De redeneringen die aan de basis liggen van dit bewijs hebben op het einde van de negentiende eeuw heel wat wiskundigen verbijsterd. Velen wezen ze zelfs af als een aberratie van de verzamelingenleer, die bovendien ook nog met meer dramatische paradoxen moest afrekenen. Het grondslagenonderzoek (dat hiervan het gevolg was) leidde tot het ontstaan van verschillende filosofische scholen in de wiskunde, zoals formalisten, intuïtionisten en logicisten.

We stellen   #D(N) = א₁ , #D(D(N)) = א₂ , #D(D(D(N))) = א₃ , enzovoort.  We noemen dit transfiniete kardinaalgetallen. Ze kenmerken oneindige verzamelingen die talrijker zijn dan die van de natuurlijke getallen.

Het continuüm

We bewijzen nu dat de verzameling van de reële getallen R gelijkmachtig is met D(N). R heeft dus als kar­dinaalgetal ℵ₁. Daarom noemt men ℵ₁ ook het continuüm. Dit bewijs verloopt in twee etappes. Eerst construeren we een bijectie tussen het open interval ]0,1[ en R, dat betekent dat #R  = #]0,1[.

De samenstelling van de blauwe pijlen met de volle rode pijlen bepaalt een bijectie van ]0,1[ op R.

Dan tonen we aan dat   #]0,1[  =  #D(N)  = א₁   zodat ook  #R = א_1.

We construeren eerst een injectie i van D(N) in ]0,1[ : is A een deelverzameling van N, bijvoorbeeld A = {3, 9, 99, 999, 9999, …} of A = {4}, waarvan we eerst de elementen geordend hebben van klein naar groot, dan beelden we A af op het getal  0,5 gevolgd door de cijfers geleverd door de getallen uit A in de natuurlijke volgorde, met telkens een cijfer 1 achter elk element, behalve als het laatste cijfer ervan reeds een 1 is dan plaatsen we er 2 achter, dus:

{3, 9, 99, 999, 9999,…}    →   0,53191991999199991…

{4} →  0,541

We hebben eerst een beduidend cijfer gezet achter de komma om te vermijden dat de lege verzameling {} zou worden afgebeeld op 0, dat niet tot het interval ]0,1[ behoort.

Twee verschillende deelverzamelingen van N hebben zo steeds een verschillend beeld in ]0,1[, dus is i een injectie en bijgevolg  #D(N)   ≤   #]0,1[ .

We construeren vervolgens een injectie j van ]0,1[ in D(N): is a een reëel getal tussen 0 en 1, bijvoorbeeld a = 0,174217421742… of a = 0,3214, dan beelden we a of op de deelverzameling van N die de getallen bevat gevormd uit de opeenvolgende decimalen van a, het eerste met één cijfer, het tweede met twee cijfers, het derde met drie cijfers, … desnoods op het einde aangevuld met het nodig aantal nullen, dus:

0,174217421742…    →      {1, 74, 217, 4217, 42174, … }

0,3214   →   {3, 21, 400}

Twee verschillende getallen tussen 0 en 1 hebben zo steeds een verschillend beeld in D(N), dus is j een injectie en bijgevolg   #]0,1[ ≤   #D(N).

Uit  #D(N)  ≤   #]0,1[ en  #]0,1[ ≤  #D(N) volgt  #]0,1[  =  #D(N) = א₁ (Schröder-Bernstein).

Rekenen met kardinaalgetallen

Met kardinaalgetallen kunnen we rekenen via verzamelingen die deze kardinaalgetallen representeren zoals dit onder andere op een telraam gebeurt. Om 3 op te tellen bij 2 zet men op een telraam eerst drie bolletjes opzij (een verzameling met drie elementen) vervolgens neemt men nog twee andere bolletjes (een verzameling van twee elementen gescheiden van de vorige), dan verenigt men beide verzamelingen tot één nieuwe verzameling en telt men de elementen. Dat geeft het getal 5. Dit laatste kardinaalgetal 5 is de som van de gegeven kardinaalgetallen 3 en 2. De som van twee kardinaalgetallen wordt zo gerealiseerd via de vereniging van twee gescheiden verzamelingen, die representanten zijn van die kardinaalgetallen. De vereniging van twee verzamelingen A en B noteren we A∪B. De definitie van de optelling van kardinaalgetallen kan sym­bolisch worden uitgedrukt door #A + #B = #(A∪B), (waarbij A en B gescheiden verzamelingen zijn). Omdat de vereniging van verzamelingen commutatief is, is de optelling van kardinaalgetallen dit ook.

We hebben de natuurlijke getallen geconstrueerd door die op te vatten als de verzameling van hun voorgangers, namelijk {0, 1, 2, 3, …, n–1}= n. Door de nieuwkomer n toe te voegen aan de verzameling die hij bepaalt, verkrijgen we zijn opvolger, n ∪ {n} = n+1. Die formule vertolkt dus een bijzonder geval van de optelling van kardinaalgetallen.

Met behulp van de opvolgertechniek hebben we de oneindige verzameling van de natuurlijke getallen opgebouwd. Is het mogelijk met diezelfde tech­niek ook voorbij N te geraken? Dus bepaalt N ∪ { N} een verzameling die talrijker is dan N? Nog anders gesteld: is  ℵ₀ + 1 groter dan  ℵ₀? We tonen aan dat dit niet het geval is en dat  ℵ₀ + 1  =  ℵ₀  = 1 + ℵ₀. Het volstaat daarvoor een bijectie te construeren van N ∪ { N}  op N.

Welnu, dit is een bijectie. We kunnen zelfs aantonen dat  #ℵ₀ + #ℵ₀ = #ℵ₀. Nemen we bijvoorbeeld A = {a₀, a₁, a₂,…, a₃,…} en B = {b₀, b₁, b₂,…, b_n,…} dan hebben A en B beide een kardinaalgetal #ℵ₀. Omdat A en B gescheiden zijn is #(A ∪ B) = #A + #B = #ℵ₀ + #ℵ₀

is een bijectie  van A ∪ B  op N. Hieruit blijkt: #ℵ₀ + #ℵ₀ = #ℵ₀. Om vanaf het kardinaalgetal #ℵ₀ nog grotere kardinaalgetallen te be­reiken hebben we klaarblijkelijk de sprongen nodig die we kunnen maken met behulp van de stelling van Cantor:  #N < #D(N) < #D(D(N)) <  #D(D(D(N))) < …

De continuümhypothese

Als we de stelling van Cantor gebruiken om vanaf de lege verzameling machtigere verzamelingen te creëren, dan doorlopen we achtereenvolgens de volgende types eindige verzamelingen :

{ } = 0

D({ }) = {{ }} ={0} = 1

D(D({ })) = D({0}) = {{ },{0}} = {0,1} = 2

D(D(D({ })) )= D({0,1}) = {{ },{0},{1},{0,1}}

Merk op dat de verzameling D(D(D({ })) ) reeds vier elementen bevat en dat we met dit soort sprongen over het type met drie elementen zijn gewipt. Zo mislopen we het kardinaaltype 3 en nog vele andere. We be­reiken immers achtereenvolgens slechts verzamelingen met kardinaalgetallen:

0, 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, enzovoort.

Met die rij zouden we bijgevolg heel wat natuurlijke getallen overslaan. Nu rijst het probleem of we met de rij van de transfiniete kardinaalgetallen niet hetzelfde euvel hebben begaan. Bestaan er bijvoorbeeld types van on­eindige verzamelingen met een kardinaalgetal tussen ℵ₀ en ℵ₁? Bestaan er dus verzamelingen die talrijker zijn dan de verzameling van de natuurlijke getallen, waarvan het kardinaalgetal ℵ₀ is, en minder talrijk dan de verzameling van de reële getallen, waarvan het kardinaalgetal ℵ₁ (het continuüm) is?

Het vermoeden dat zulke tussenverzamelingen niet bestaan, wordt daarom continuümhypothese genoemd. Het was het eerste van de 23 beroemde problemen die David Hilbert in 1900 op het internationaal congres van Parijs aan de wiskun­dewereld voorlegde. Het probleem werd op een verschillende wijze opge­lost door Kurt Gödel en Paul Cohen. In 1939 bewees Gödel dat de axioma’s van de ‘gewone’ verzamelingenleer consistent bleven als men daaraan de continuümhypothese toevoegde. In 1963 kon Cohen aantonen dat de continuümhypothese onafhankelijk was van de overige axioma’s van de verzamelingenleer en dat men dus evengoed op een consistente wijze de ontkenning van de continuümhypothese aan die axioma’s kon toevoegen. De status van de continuümhypothese ten opzichte van deze axioma’s in de verzamelingenleer blijkt dus analoog met die van het parallellenpostulaat in de meetkunde ten opzichte van de zogenoemde incidentie-axioma’s. Men kan aan deze laatste axioma’s zowel het postulaat van Euclides (dat er door een punt buiten een rechte slechts één evenwijdige aan die rechte bestaat) toevoegen, als een ontkenning hiervan, en op die manier zowel een Euclidische als een niet-Euclidische meetkunde ontwikkelen die allebei consistent blijven.

Eindige en transfiniete ordinaalgetallen

De rij van de natuurlijke getallen is door de wijze van haar constructie geor­dend. Bovendien is deze orde bijzonder door de eigenschap dat elk van haar deelverzamelingen, eindig of oneindig, steeds een kleinste element bezit. Die eigenschap kenmerkt de zogenaamde welgeordende verzamelingen. De natuurlijke getallen kunnen daarom ook dienst doen als typeverzame­lingen voor de eindige welgeordende verzamelingen. In die functie noemen we ze ordinaalgetallen. We stellen de natuurlijke getallen, opgevat als ordi­naalgetallen, voor door rijtjes waarin de pijlen de orde aangeven. Het ordinaalgetal 4 wordt bijvoorbeeld voorgesteld door :

Als ordinaalgetal is elk natuurlijk getal dus eveneens gelijk aan de verzame­ling van zijn voorgangers.

In de lege verzameling 0 valt niet veel te ordenen. Ook in de verzameling met één element is ordening niet nodig, een stipje volstaat om zijn aanwezigheid op te merken. De verzameling van de na­tuurlijke getallen N is zelf een welgeordende verzameling, maar van een oneindig type. We noemen het ordinaalgetal van N ‘omega’ (ω). Omdat er geen grootste natuurlijk getal bestaat stellen we ω voor door de volgende oneindig doorlopende rij:

Ook ω is dus gelijk aan de verzameling van zijn voorgangers, namelijk de na­tuurlijke getallen. Om ω in de rij van ordinaalgetallen te kunnen voorstel­len voeren we een speciaal symbool in, een ‘puntpijltje’ dat aangeeft dat dit element geen onmiddellijke voorganger heeft maar wel voorafge­gaan wordt door alle elementen links ervan. We verkrijgen zo de volgende rij van ordinaalgetallen met daaronder hun ordeningstype:

Rekenen met ordinaalgetallen

We tellen ordinaalgetallen op door hun ordeningstypes aan elkaar te scha­kelen (juxtaposeren) en het nieuwe ordinaaltype van die aaneenschakeling te bepalen.

Voor eindige ordinaalgetallen vinden we zo dezelfde resultaten en eigen­schappen terug als voor kardinaalgetallen, maar als we het ordinaalgetal ω als term inschakelen niet meer. Bijvoorbeeld:

Een oneindige rij met eentje ervoor is nog steeds maar een oneindige rij, maar een oneindige rij met eentje erachter is plots een ander welordenings­type want hierin is er terug een laatste element. We stellen dus vast dat ω+1 een ander ordeningstype is dan ω en dat ω + 1 in de rij van de ordinaalgetal­len onmiddellijk op ω volgt. Bovendien is 1+ ω ≠ ω+1. Op een analoge wijze is 2 + ω = ω maar ω + 2 ≠ ω en ω + 2 ≠ ω + 1 want

Zo is 2ω = ω + ω als juxtapositie van twee oneindige rijen een ander welordeningstype dan ω, want het heeft tussenin een pijltjespunt, maar is  ω.2 = 2 + 2 +2 +2 + …  wel gelijk aan ω als de juxtapositie van oneindig vele rijtjes van twee.

Zo kunnen we steeds maar grotere ordinaalgetallen construe­ren. Daarbij bestaat er geen grootste ordinaalgetal, evenmin als een grootste kardinaalgetal.

Het ene oneindige is dus het andere niet. Het is ook merkwaardig dat de wegen van de kardinaalgetallen en de ordinaalgetallen uit elkaar beginnen te lopen vanaf het ogenblik dat we op het transfiniete terrein komen. Ook de eigenschappen van de bewerkingen blij­ven vanaf dat punt niet meer dezelfde. ‘Voorbij oneindig’ is er dus een verschil of men werkt met ongeordende of met geordende verzamelingen.

Eugenia Cheng, Beyond Infinity. An Expedition to the Outer Limits of Mathematics. (Profile Books, 2017).