hoe neem je beslissingen als de meningen verdeeld zijn? welk kiessysteem garandeert een juiste democratische beslissing? in Numbers Rule: The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present laat george szpiro een aantal wiskundige denkers de revue passeren die telkens tot de vaststelling komen dat er geen enkele methode is die altijd werkt. De wiskunde van besluitvormingsprocessen kan dan ook frustrerend zijn.

Wiskunde, democratie en het ware leven (#38)

kris deschouwer

Peter, Paul en Mary besluiten samen een etentje te organiseren. Ze moeten daarbij ook beslissen welke drank ze zullen kopen om het diner mee af te sluiten. Ze willen die beslissing graag samen nemen, op een democratische manier. Dat blijkt echter niet zo gemakkelijk. Peter heeft het liefst amaretto. Paul zou liever een fles grappa kopen en Mary verkiest limoncello. Geen enkele voorkeur haalt een absolute meerderheid en geen enkele voorkeur haalt meer stemmen dan de andere. Dat begint dus goed. Om toch een beslissing te kunnen nemen zoeken ze hun toevlucht tot een wat subtielere manier van stemmen. Zij hebben elk niet alleen een eerste keuze, maar kunnen ook de andere alternatieven onderling beoordelen. De voorkeuren van de drie vrienden zijn de volgende:

Peter: amaretto > grappa > limoncello

Paul: grappa > limoncello > amaretto

Mary: limoncello > amaretto > grappa

Er zal nu worden gestemd in twee ronden. Eerst worden amaretto en grappa met elkaar vergeleken. En zoals te verwachten was uit de voorkeuren van de drie, haalt amaretto het van grappa met twee stemmen tegen één (Peter en Mary tegen Paul). Vervolgens worden grappa en limoncello met elkaar vergeleken. Daarbij haalt grappa het met twee stemmen tegen één (Peter en Paul tegen Mary). De beslissing is dus duidelijk: er zal een fles amaretto worden gekocht omdat amaretto het gehaald heeft van grappa en grappa het ook haalt van limoncello.

Maar meteen melden Paul en Mary dat ze niet tevreden zijn met dit resultaat. Zijn ze niet in staat zich neer te leggen bij een eerlijke stemming? Toch wel, maar ze ervaren die stemming niet als eerlijk. Zij verkiezen immers allebei limoncello boven amaretto. In een derde stemronde zou dat duidelijk geworden zijn. Ze menen dus dat er uiteindelijk toch beter voor limoncello zou worden gekozen. Maar het probleem is dan dat Peter en Paul protesteren omdat zij grappa verkiezen boven limoncello. Zo kun je nog een tijdje doorgaan: amaretto haalt het van grappa, grappa haalt het van limoncello, limoncello haalt het van amaretto. Wat is hier dan de goede oplossing? Het ontnuchterende antwoord – nog voor de drank is genuttigd – is eenvoudigweg dat er geen goede oplossing is. Het is onmogelijk om op basis van de voorkeuren van de deelnemers een beslissing te nemen die bevredigend is voor iedereen, of minstens voor een meerderheid van de deelnemers. De voorkeuren van de meerderheden zijn immers – in wiskundige termen – niet transitief. De democratie draait dol.

Dit verhaal is één van de vele voorbeelden die George Szpiro aanhaalt in zijn Numbers Rule: The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present. Je vindt het in het hoofdstuk dat gewijd is aan de Franse marquis de Condorcet. De paradox die hierboven beschreven staat, heeft inderdaad de naam van Condorcet gekregen. In het eenvoudige voorbeeld van de drie vrienden is geen enkele van de opties een ‘Condorcetwinnaar’. Geen enkele keuze scoort in paarsgewijze vergelijkingen beter dan de andere. Dat is uiteraard een extreme situatie, maar ze is in de praktijk niet uit te sluiten.

Over de manier waarop je een beslissing kunt nemen wanneer de eerste voorkeuren niet meteen een absolute meerderheid opleveren – en als er meer dan twee opties zijn, is dat wel vaker het geval – is in de loop van de geschiedenis al veel nagedacht. In het gegeven voorbeeld is er geen uitweg mogelijk. Behalve in dit extreme geval, waarbij elke keuze evenveel stemmen krijgt en ook elke paarsgewijze vergelijking evenveel stemmen oplevert, levert een stemming normaal wel degelijk één optie op die groter is dan de andere. Maar meteen wordt ook de manier waarop kan worden gestemd behoorlijk ingewikkeld. Er bestaan vandaag kiessystemen die de kiezer vragen zijn of haar voorkeuren te rangschikken. In Australië gebruikt men bijvoorbeeld het systeem van de ‘alternative vote’. Hierbij is in elke kieskring één enkele zetel te verdelen. Elke kiezer moet op de stembrief alle kandidaten voor die zetel rangschikken van de eerste tot de laatste voorkeur. Als iemand een absolute meerderheid aan eerste voorkeuren verzamelt, dan is die kandidaat verkozen. Is dat niet het geval, dan wordt er ook gekeken naar de tweede en eventueel ook naar de derde voorkeuren van de kiezers. Je kunt als kiezer dan wel heel subtiel aangeven hoe je voorkeuren eruitzien, maar je moet ook doorgestudeerd hebben om precies te begrijpen hoe het komt dat een bepaalde kandidaat uiteindelijk verkozen wordt. Dat is immers niet noodzakelijk degene die de meeste eerste voorkeuren achter zijn of haar naam kreeg. Als de kandidaat die vele eerste voorkeuren krijgt ook heel vaak onderaan geplaatst wordt, kan na afweging van alle stemmen best iemand anders worden verkozen.

Naar meer dan alleen de eerste voorkeur peilen levert zeer complexe stemprocedures op

Naar meer dan alleen de eerste voorkeur peilen levert zeer complexe stemprocedures op. Bovendien biedt het nog geen garantie dat echt de beste beslissing genomen wordt. Want als ik word gevraagd om mijn voorkeuren te rangschikken, hoef ik dat niet noodzakelijk op een eerlijke manier te doen. Als ik vermoed dat een bepaalde keuze wel eens een bedreiging voor mijn eerste keuze zou kunnen worden, kan ik die meteen helemaal achteraan zetten. Een optie die ik nog slechter vind, maar die het allicht niet zal halen, zet ik dan hoger in de rangschikking. Wat ik dan doe, is wat men in de politicologie ‘strategic voting’ noemt. Ik breng een stem uit waarbij ik de mogelijke uitslag van de stemming in het achterhoofd houd. Dat is geen ‘sincere voting’, een nachtmerrie voor wie aan de hand van de echte preferenties de wiskundig beste oplossing wil vinden.

Het boek van Szpiro wemelt van de interessante en vaak amusante voorbeelden. Ze zijn – behalve om extreme gevallen duidelijk te maken – niet verzonnen. Elk hoofdstuk is gewijd aan een persoon die zijn hoofd gebroken heeft over de vraag hoe je een juiste democratische beslissing kunt nemen. Allemaal botsen ze op de wiskundige vaststelling dat er geen enkele methode is die altijd werkt. We maken kennis met Plinius de Jongere, die zich in de eerste eeuw afvraagt hoe een jury in een rechtbank een keuze tussen drie alternatieven kan maken. We leren de Spaanse theoloog en filosoof Ramon Llull kennen, die in de dertiende eeuw zoekt naar een mechanisme om bisschoppen te verkiezen. De reeds genoemde achttiende-eeuwse markies de Condorcet komt aanbod, en zelfs Lewis Carroll – in het echte leven professor Charles Lutwidge Dodgson – die zich in Oxford vastbijt in besluitvormingsmethoden voor de aanstelling van collega’s. Telkens wordt met een flinke vleug ironie verteld hoe zij tevergeefs probeerden hun gelijk te halen. Dat is meteen ook een beetje de zwakte van het boek: telkens opnieuw komt in feite hetzelfde basisprobleem terug maar in een verschillende context. En soms bouwen de wiskundige denkers voort op elkaars werk, soms beginnen ze ook helemaal opnieuw. En dan doet Szpiro dat ook.

Op het einde van het boek worden ook een paar hoofdstukken gewijd aan een heel ander probleem: de onmogelijkheid om een perfecte evenredige verdeling van zetels te bekomen. Of het nu gaat om het toewijzen van het aantal zetels in het House of Representatives aan elk van de Amerikaanse staten, of om de verdeling van zetels over verschillende partijen, telkens bots je op het probleem dat de evenredige verdeling geen gehele getallen oplevert. Er moet dus worden afgerond, maar elke methode om af te ronden of om met gehele getallen te eindigen, bevoordeelt de ene of de andere partij.

In België zijn we zeer vertrouwd met het systeem D’Hondt, genoemd naar de negentiende-eeuwse Gentse hoogleraar Victor D’Hondt. Daarbij worden eerst de resultaten van alle partijen op een rij gezet. Het resultaat van elke partij wordt dan gedeeld door twee, wat een tweede rij oplevert. Vervolgens wordt elk resultaat gedeeld door drie, vier, vijf enzovoort. Om nu de zetels over de verschillende partijen te verdelen wordt naar de grootte van al die quotiënten gekeken. De eerste zetel gaat altijd naar de grootste partij. Het resultaat van die partij gedeeld door één is immers altijd het grootste quotiënt van de reeks. Dan gaan we op zoek naar het tweede grootste quotiënt en de partij waar dit bij hoort krijgt de tweede zetel. En zo gaan we voort tot alle zetels verdeeld zijn.

Bij het systeem D’Hondt is het voor kleinere partijen iets moeilijker om een eerste zetel te veroveren dan voor grotere partijen om een extra zetel te winnen

Het resultaat van deze oefening is een zeer evenredige verdeling van de zetels over de partijen, maar de evenredigheid is niet perfect. Bij het systeem D’Hondt is het voor kleinere partijen iets moeilijker om een eerste zetel te veroveren dan voor grotere partijen om een extra zetel te winnen. Er bestaan vele andere ‘delerreeksen’ om zetels te verdelen, maar allemaal leveren ze een wat vertekend beeld op. Dat is een interessant gegeven en ook nuttig om te weten als je belangstelling hebt voor hoe verkiezingen precies in elkaar zitten. Maar de band met het eerste probleem – de besluitvorming wanneer er meer dan twee opties zijn – is niet meteen duidelijk. Het eerste probleem gaat over besluitvorming, het tweede over verdelingstechnieken. Szpiro legt ook geen expliciete link tussen beide. Het gaat in beide gevallen natuurlijk wel om problemen die je wiskundig kunt bewijzen en wiskundig kunt duiden. En in beide gevallen blijkt vooral ook dat er geen perfecte oplossing is.

Het eerste hoofdstuk van het boek gaat over Plato, die de titel ‘antidemocraat’ meekrijgt. Dat is terecht, want Plato brak zich helemaal niet het hoofd over de vraag hoe je de voorkeuren van een groep kunt omzetten in één enkele beslissing die als de beslissing van de hele groep kan worden beschouwd. Plato maakte zich vooral zorgen over de vraag wie er precies het recht moest krijgen om de stad – de polis, het politieke systeem – te besturen. Wat je in zijn ogen moest vermijden, was dat elke burger, ook diegene die geen goede scholing had genoten en die dus weinig of geen inzicht had in de zaken van bestuur, het roer in handen zou krijgen om mee te mogen beslissen. Alleen de besten – de ‘aristoi’ – mochten volgens Plato dat recht krijgen. Dit hoofdstuk snijdt dus een heel andere kwestie aan, die later in het boek niet meer terugkomt en die overigens heel weinig met wiskunde te maken heeft.

Hier rijst zowel de vraag wie er mag deelnemen aan een verkiezing, als wat het gewenste effect van de verkiezingstechniek moet zijn. Los van de wiskundig ‘juiste’ verdeling van zetels tussen territoria of tussen partijen, heeft de wijze waarop een verkiezing georganiseerd wordt gevolgen voor de wijze waarop de democratische processen kunnen verlopen. Wanneer in elke kieskring één enkele zetel te krijgen is, zoals in het Verenigd Koninkrijk waar die zetel heel eenvoudig naar de kandidaat met het grootste aantal stemmen gaat, of zoals in Australië waar met de ingewikkelde ‘alternative vote’ naar een winnaar gezocht wordt, krijg je volksvertegenwoordigers die allemaal een klein stukje van het grondgebied vertegenwoordigen en die in het parlement dan ook aandacht voor hun electorale thuishaven zullen vragen.

Een proportioneel kiessysteem waarbij verschillende zetels in een kieskring evenredig verdeeld worden over verschillende partijen, levert dan weer een parlement op dat een veel betere afspiegeling is van de meningen en verwachtingen van de bevolking. Dat betekent echter nog niet dat alle mogelijke deelgroepen in de samenleving ook evenredig in het parlement aanwezig zijn. Vrouwen en mannen, ouderen of jongeren, de diverse beroepsgroepen, de diverse scholingsniveaus, autochtonen en allochtonen zijn meestal niet precies a rato van hun grootte in de samenleving aanwezig in een verkozen parlement. Maar met een evenredig kiessysteem kom je meestal wel veel beter in de buurt van zo’n afspiegeling van de samenleving dan met een kiessysteem dat – zoals het Britse – voor elk kiesdistrict één enkele vertegenwoordiger verkiest. Een meerderheidssysteem op zijn Brits levert echter wel meestal één enkele winnaar op, die meteen kan regeren. Je hebt dan geen echt afspiegelend of representatief parlement, maar wel een responsieve regering die door de burgers bij de volgende verkiezingen kan worden weggestemd.

Over de vraag welk kiessysteem het beste is, kan ook geen sluitend antwoord worden gegeven. De redenen daarvoor zijn niet wiskundig, maar hebben betrekking op de gewenste inhoudelijke effecten. Verkiezingen waaraan alle burgers kunnen deelnemen – wat wij vandaag terecht als democratische verkiezingen beschouwen – moeten in staat zijn om de voorkeuren van de bevolking te lezen, te interpreteren en om te zetten in besluitvorming die tegemoetkomt aan de verwachtingen van die burgers. En als burgers het recht hebben om onderling van mening te verschillen – ook dat hoort bij de moderne democratie – dan is één enkel juist beleid ook nooit te realiseren.

Waar de wiskundige benadering geen aandacht voor heeft, is het feit dat beslissingen in een samenleving niet uniek, eenmalig en definitief zijn

Maar daarover gaat Numbers Rule niet, behalve dan even in het eerste hoofdstuk over Plato. Het boek gaat over de manier waarop je beslissingen kunt nemen wanneer de meningen verdeeld zijn en toont op een heerlijk weglezende wijze aan dat elk systeem dat je daarvoor gebruikt, hoe subtiel en doordacht het ook mag zijn, gedoemd is om te botsen op zijn wiskundige limieten. Er is geen enkele oplossing die altijd goed is en soms is er zelfs helemaal geen oplossing mogelijk. Dat laatste is uitzonderlijk, maar wel degelijk als een mogelijkheid te bewijzen of te illustreren aan de hand van amaretto, grappa en limoncello.

Waar de wiskundige benadering echter geen aandacht voor heeft, is het feit dat beslissingen in een samenleving niet uniek, eenmalig en definitief zijn. Telkens opnieuw kunnen beginnen is ook een essentieel kenmerk van de democratie. Niets of niemand krijgt de macht voor altijd. Op die manier kan ook de mate waarin een beslissing bevredigend is over de tijd worden gespreid. Beslissingen kunnen bovendien ook met elkaar worden gecombineerd. Dan kan iedereen wel ergens mee tevreden zijn. En de alternatieven kunnen ook worden gewijzigd, samengevoegd of herdacht. Dat is precies wat tijdens onderhandelingen gebeurt. De uitgangspunten en mogelijke uitkomsten van politieke besluitvorming liggen (gelukkig) minder vast dan de premissen en resultaten van een wiskundig bewijs.

Als Peter, Paul en Mary goede vrienden zijn, dan is het etentje dat ze plannen allicht niet het eerste en evenmin het laatste dat ze samen zullen organiseren. En dan zijn er verschillende oplossingen voor het probleem dat ze enigszins verschillende smaken hebben. Ze kunnen de ene keer amaretto nemen, de volgende keer limoncello en de derde keer grappa. Dan is op de duur iedereen tevreden. Ze zouden ook akkoord kunnen gaan om een fles frangelico te kopen of een sambuca of een donkere amaro. Allemaal lekker. En laten we wel wezen: een hele fles van welke drank dan ook is misschien net iets te veel om een diner voor drie mee af te sluiten. Waarom dan niet elke keer één fles kopen, zodat er na de derde keer telkens drie flessen op de tafel kunnen worden gezet en elk rustig kan kiezen. Alleen de eerste twee keren moeten er dan wat toegevingen worden gedaan. Maar dat is al bij al een kleine prijs om een goede vriendschap in stand te houden. En het is zeker mogelijk om die toegeving te compenseren met een wat grotere stem in de keuze van het aperitief. De wiskunde van besluitvormingsprocessen kan erg frustrerend zijn. Gelukkig bestaan er voldoende creatieve uitwegen om zich niet steeds te laten leiden door de dwingende kracht van de cijfers alleen. Numbers can rule. Maar dit hoeft daarom ook niet zo te zijn.

George Szpiro, Numbers Rule: The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present. (Princeton: Princeton University Press, 2010).

Kris Deschouwer is als politicoloog verbonden aan de Vrije Universiteit Brussel.