Deel dit artikel

als we internationale vergelijkende studies zoals timss en pisa mogen geloven, behoort het wiskundeonderwijs in vlaanderen tot de wereldtop. wat maakt dat onderwijs zo effectief? algemeen-pedagogische en sociologische factoren, maar wellicht ook de wiskundedidactiek hebben daartoe bijgedragen. de laatste decennia heeft de didactische aanpak van het vak een hele weg afgelegd. tijd voor een terugblik en schets van de actuele situatie.

Het succes van de nieuwe wiskunde

Dirk de Bock, Dirk Janssens en Lieven Verschaffel

Sommigen herinneren zich de invoering van de ‘moderne wiskunde’, in 1968 in het secundair onderwijs en enkele jaren later ook in het basisonderwijs. De moderne wiskunde was een radicale hervorming van het wiskundeonderwijs, geïnspireerd door de axiomatische, deductief-logische opbouw van wiskunde. Die methode van werken – al duidelijk aanwezig in de klassieke Griekse wiskunde met als model de ‘Elementen’ van Euclides – was in de twintigste eeuw manifest aanwezig in een wiskundig project waarbij men het hele (intussen erg grote) wiskundegebouw vanuit enkele basisstructuren (zoals verzamelingen, relaties en groepen) wilde funderen en (re)construeren. Het wiskundeonderwijs diende deze evolutie binnen de wiskunde als wetenschap te volgen, zo dachten vele wiskundigen en wiskundedidactici die in de jaren vijftig en zestig op zoek waren naar een aan de moderne tijd aangepast alternatief voor het in hun ogen ouderwetse wiskundeonderwijs. Men wilde dit logisch opbouwproject ook voor de wiskundige ‘basisvorming’ toepassen. De gedachtegang hierbij was: als we de leerlingen de basiselementen systematisch aanreiken, dan kunnen zij door logische afleidingen zich alle verdere eigenschappen eigen maken en dus wordt het hele wiskundige bouwproces voor hen doorzichtig.

De veralgemeende en verplichte invoering van de moderne wiskunde ― met de daaraan gekoppelde vernieuwing van handboeken en andere leermiddelen, de inrichting van allerhande druk bijgewoonde herscholingscursussen voor leerkrachten en ouders, enzovoort ― is te beschouwen als één van de meest ingrijpende en spectaculaire vernieuwingen uit de geschiedenis van het Belgisch onderwijs. Nochtans werden van bij de aanvang bezwaren geopperd tegen deze van bovenaf opgelegde radicale onderwijsvernieuwing. Die bezwaren waren uiteraard niet gericht tegen de logische en systematische opbouw van de wiskunde an sich, noch tegen het voornemen om het wiskundeonderwijs inhoudelijk aan te passen en te verbeteren. Wat wel betwist werd door bepaalde zogenaamde ‘doemdenkers’, was de efficiëntie van deze ‘structuralistische’ aanpak van het wiskundeonderwijs, inzonderheid voor de wiskundige basisvorming.

De fundamentele kritiek van de tegenstanders was dat men niet de door de eeuwen heen geëvolueerde abstracte definities van wiskundige concepten als (voornaamste) leidraad moet gebruiken bij het uitwerken van een curriculum, maar dat daarbij (evenzeer) moet rekening worden gehouden met de concrete begrippen en informele strategieën waarover leerlingen bij de start van een onderwijsleerproces beschikken. De eminente wiskundige en wiskundedidacticus Hans Freudenthal (werkzaam te Utrecht) heeft dit op internationale fora altijd verdedigd en ervoor gezorgd dat een meer ‘realistisch’ wiskundeonderwijs werd doorgevoerd in het Nederlandse lager en secundair onderwijs. Met zijn team van medewerkers maakte hij ook werk van het onderbouwen, verantwoorden en exemplarisch uitwerken van deze alternatieve aanpak. Een boutade uit 1984 maakt zijn standpunt over de afwijzing van de moderne wiskunde in het onderwijs duidelijk: ‘Wiskundige structuren in het onderwijs? Ja! Structuur van de wiskunde als didactisch principe? Neen!’.

‘Wiskundige structuren in het onderwijs? Ja! Structuur van de wiskunde als didactisch principe? Neen!’

In Vlaanderen kon men snel ervaren dat de waarschuwingen aan het adres van de ‘moderne wiskunde’ niet onterecht waren. Allerlei problemen en zwakke punten kwamen duidelijk in de klaspraktijk aan het licht, al kregen die aanvankelijk ― om (onderwijs)politieke redenen ― niet de aandacht die ze verdienden. Wat bleek er allemaal niet te werken? Ten eerste: een axiomatisch gerichte aanpak vertrekt niet van een probleemstellende, betekenisvolle context. De axioma’s en ‘spelregels’ worden bij de aanvang als vaststaande, absolute gegevenheden meegedeeld, zonder dat de leerling weet hoe en waarom die zijn ontstaan en waartoe ze zullen leiden. Het gevolg daarvan is dat leerlingen betrokken worden in een wiskundige praxis waar ze zich weinig of niets bij kunnen voorstellen.

Ten tweede: abstracte wiskundige structuren zoals groepen bieden voor een wiskundige inderdaad het voordeel van een ‘economie in het denken’, omdat die abstracte structuren in vele ogenschijnlijk verschillende situaties inzetbaar zijn. Voor een wiskundige noviet werkt dat echter niet op die manier. Die kent al die verschillende situaties die door middel van die abstracte structuur gemodelleerd (kunnen) worden, nog niet. Voor die leerling ontstaan er zo lege, nietszeggende structuren waarmee niet ‘gewerkt’ kan worden. Men spreekt in dit verband van ‘inerte kennis’.

Daarnaast maakte ― ten derde ― de ‘verplichting’ om reeds in een vroeg stadium alles precies te definiëren en te bewijzen (inclusief de schijnbaar evidente dingen) de zaken nodeloos ingewikkeld. De drang tot vroegtijdig formaliseren en de daarmee gepaard gaande eis van correct taal- en symboolgebruik vormden een bijkomend obstakel dat de aangeleerde concepten uit de moderne wiskunde dikwijls helemaal vervreemdden van de voor leerlingen (en voor hun leerkrachten) al vertrouwde begrippen en dat hen elk houvast en zelfvertrouwen deed verliezen. Een grote groep leerlingen herinnerde zich na afloop alleen nog enkele woorden en symbolen en hun (vergeefse) worsteling daarmee.

Een grote groep leerlingen herinnerde zich na afloop alleen nog enkele woorden en symbolen en hun (vergeefse) worsteling daarmee

Tenslotte, wat logisch gezien een eenvoudige constructie leek, waar leerlingen zelf toe zouden moeten kunnen komen, werd voor velen een onontwarbaar vreemd kluwen, dat ze passief opnamen en trachtten te studeren. Dat was natuurlijk tegengesteld aan de oorspronkelijke bedoeling en aan de functie van wiskunde als instrument voor actieve kennisconstructie en voor creatief, probleemoplossend en kritisch denken. Als het hele systeem vooraf vastgelegd is en het vocabularium en de syntaxis van de wiskundetaal rigoureus voorgeschreven, dan heeft de leerling helemaal geen inbreng meer en wordt het denkwerk hoogstens gereduceerd tot het slaafs (proberen) volgen van zuiver logische afleidingen die anderen toch al hebben gemaakt. Noch bij het proces, noch bij de resultaten van al dat ‘denkwerk’ voelt de leerling zich uiteindelijk nog erg betrokken.

Om aan de meest acute problemen van leerlingen en leraren te verhelpen, werden geleidelijk een aantal ‘correcties’ in de leerplannen wiskunde aangebracht, vooral in de hoogste jaren van het secundair onderwijs. Daarbij werd niet aan de uitgangspunten van de moderne wiskunde geraakt, al kwamen die wel wat meer op het achterplan. Vanaf 1985 werden gaandeweg meer elementen geïntegreerd van wat men internationaal het realistisch wiskundeonderwijs is gaan noemen. In de eindtermen die vanaf 1997 werden geïmplementeerd in het basisonderwijs en in de eerste graad van het secundair onderwijs, opteerde Vlaanderen resoluut voor deze nieuwe basisfilosofie van het wiskundeonderwijs. Een voorbeeld van deze nieuwe benadering vormt de behandeling van het functiebegrip. Waar vroeger zonder enige voorbereiding gestart werd met een abstracte en technisch geavanceerde functiedefinitie, wordt er nu eerst gewerkt met grafieken, tabellen en formules die allerhande betekenisvolle verbanden beschrijven. Gradueel wordt het abstractieniveau verhoogd en de klasse van ‘functionele verbanden’ uitgebreid. Pas in de derde graad verschijnt het algemene en abstracte begrip ‘reële functie’.

Op elk niveau blijft men met de ― aan de situatie aangepaste ― definities van begrippen werken en redeneren. Ondertussen leren veel meer leerlingen andere aspecten van deze begrippen kennen door ze te gebruiken en heeft men zeker de mogelijkheid om aan de maatschappelijke verwachtingen ten aanzien van wiskunde (en die zijn groot) tegemoet te komen. Uit dit voorbeeld blijkt dat de nieuwe benadering zeker geen ‘restauratie’ van het traditionele wiskundeonderwijs van voor 1968 inhield. Al konden, met name in het basisonderwijs, bepaalde waardevolle elementen uit de rijke Vlaamse wiskundedidactische traditie, die door de rage van de moderne wiskunde onder het stof waren geraakt, op een herwaardering rekenen.

Er wordt vertrokken van zorgvuldig gekozen, uitdagende en betekenisvolle probleemsituaties uit het dagelijkse leven

In realistisch wiskundeonderwijs worden wiskundige begrippen in verschillende niveaus ontwikkeld. Er wordt vertrokken van zorgvuldig gekozen, uitdagende en betekenisvolle probleemsituaties uit het dagelijkse leven, uit de fantasiewereld van de leerlingen en in een verder stadium ook steeds meer uit de wereld van de wiskunde zelf. Kernpunt is dat de leerling zich enerzijds bij het probleem iets kan voorstellen en zijn beschikbare intuïtieve kennis en informele vaardigheden wil en kan inzetten om dat probleem op te lossen. Anderzijds dient dat probleem een doeltreffend vertrekpunt te vormen om te komen tot de beoogde wiskundige begripsvorming of vaardigheidsontwikkeling. Na een eerste fase waarin de leerlingen op hun eigen niveau het probleem te lijf gegaan zijn, worden in een volgende fase de begrippen verrijkt en op een hoger niveau getild: het concrete, intuïtieve, informele, uitvoerige, specifieke, onzekere denken en handelen wordt abstracter, formeler, algemener, preciezer, zekerder. Bij die overgang spelen zowel de leerlingen als de leerkracht een cruciale rol. Via sterk interactief gericht onderwijs (klasgesprek, groepswerk met nabespreking), waarin heel veel nadruk wordt gelegd op het articuleren van en reflecteren op verschillende zienswijzen, oplossingsmanieren enzovoort, komt de beoogde niveauverhoging (geleidelijk) tot stand.

Realistisch wiskundeonderwijs vergt een ander leertraject, en dus ook een andere dispositie van de leerkracht, dan een axiomatisch, logisch-deductief opgebouwd wiskundeonderwijs. Dit betekent natuurlijk niet dat in die alternatieve aanpak de leerlijn ondoordacht is, noch dat ‘foute’ redeneringen door de leerkracht worden getolereerd, laat staan toegejuicht. Wiskundige redeneringen moeten correct zijn, maar ook begrijpelijk, overtuigend en inspirerend voor de leerling. Dat standpunt van de leerling verschilt wezenlijk van dat van de professionele wiskundige. Het realistische leertraject vereist dan ook inzicht in het ontwikkelingsniveau en in de denk- en leerprocessen van leerlingen. Daartoe moet de wiskundedidactiek nauw samenwerken met de ontwikkelings- en instructiepsychologie. Het ontwikkelen, evalueren en bijsturen van ‘krachtige leeromgevingen’ voor de verschillende niveaus van het wiskundeonderwijs vraagt een nauwkeurige identificatie van de verschillende elementen die een rol spelen bij dat leer- en ontwikkelingsproces. Deze elementen situeren zich niet enkel op het vakinhoudelijke vlak; ook allerlei metacognitieve, affectieve en motivationele elementen spelen een belangrijke rol. Tegenwoordig wordt deze nieuwe visie op en aanpak van het wiskundeonderwijs wereldwijd ondersteund door intussen goed ontwikkeld wetenschappelijk onderzoek.

Een aantal vragen en bekommernissen blijven. Hoe kunnen we best voorkomen dat het nieuwe wiskundeonderwijs nodeloos lang in het stadium van het concrete, informele, contextgebonden denken en handelen blijft steken en dat de impulsen en hulpmiddelen om tot niveauverhoging te komen (voor leerlingen die daar aan toe zijn) te lang worden uitgesteld? En beschikken alle leerkrachten over de nodige disposities om de vanuit logisch oogpunt duidelijke en veilige leerlijn van de moderne wiskunde in te ruilen voor het meer avontuurlijke, en dus minder voorspelbare, nieuwe leertraject? Dat vereist meer dan ooit goed opgeleide wiskundeleerkrachten en een kwaliteitsvolle lerarenopleiding die zich niet beperkt tot een louter technisch-uitvoerende opleidingsdidactiek, maar het reflexieve element sterk benadrukt. En er zijn ook ditmaal terechte kanttekeningen te maken bij de concrete implementatie van deze vernieuwing in de leerplannen, de handboeken enzovoort, die vertraagd en bemoeilijkt wordt door (onderwijs)politieke omstandigheden. Maar de reacties van leerkrachten, begeleiders, lerarenopleiders en inspectieleden van het basisonderwijs en van de eerste graad zijn erg bemoedigend. De goede resultaten bij de recente internationale vergelijkingen zijn dan ook extra stimulansen om verder te werken aan de optimalisering van dit nieuwe wiskundeonderwijs.

Knowledge and Skills for Life. First Results from PISA 2000 (z. pl.: Programme for International Student Assessment OESO 2001).

The PISA 2003 Assessment Framework. Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills (z. pl.: Programme for International Student Assessment OESO 2003).

Dirk de Bock is als wiskundige verbonden aan de EHSAL en de KU Leuven.
Dirk Janssens is als wiskundige verbonden aan de KU Leuven.
Lieven Verschaffel is als pedagoog verbonden aan de KU Leuven.

Deel dit artikel
Gerelateerde artikelen