het is wel duidelijk dat de wiskunde zo ongeveer alle aspecten van ons leven beheerst: ze ligt ten grondslag aan de technologie die we elke dag gebruiken, maar ook aan beleids- en alledaagse beslissingen. getallen komt iedereen dagelijks tegen, maar wat nog een stuk verder gaat, is het domein van de calculus. die laat toe om heel precies verbanden tussen grootheden uit te drukken en wordt dankbaar ingezet door wetenschappers allerhande. hoewel calculus de gemiddelde mens misschien niet bekend of spectaculair in de oren klinkt, is hij een belangrijke sleutel tot het begrip van ons bestaan.

Calculus: De taal van het universum

Giovanni Samaey

Voor veel volwassenen, ook hoogopgeleiden, blijft wiskunde soms iets magisch en onbegrepen, ook al is er bij velen wel een vaag besef dat de wiskunde zowat alle aspecten van ons dagelijkse leven beheerst. Tegelijk is het vaak moeilijk voor niet-experts om de vinger te leggen op de precieze rol van de wiskunde in de ontwikkeling of werking van de technologie die ons omringt. Deels ligt de oorzaak hiervoor in het feit dat die impact meestal goed verborgen is. Er zit wiskunde in elk digitaal toestel, en bij elke zoekactie op het internet wordt achter de schermen wiskundig geoptimaliseerd. Ook de voorbereiding van beleidsbeslissingen is gestoeld op wiskundige optimalisatie, en ieder van ons maakt voortdurend kosten-batenanalyses om dagdagelijkse beslissingen te optimaliseren. Die kosten hoeven trouwens niet altijd monetair te zijn: als we een boodschappenlijstje opstellen ‘in de volgorde van de supermarkt’ om zo snel mogelijk onze boodschappen te kunnen doen, is de kost die we minimaliseren eigenlijk ons tijdsgebruik.

Ook bij grote maatschappelijke uitdagingen blijkt wiskunde een sleutelrol te spelen. Denk maar aan de mobiliteitsknoop, de klimaatverandering, of de transitie naar groene energie.  Toch haken jongeren af, en lopen veel volwassenen rond met het idee dat hun inspanningen op school voor wiskunde nergens toe hebben geleid. Als het nog niet eerder is gebeurd, ontstaat dit gevoel voor veel jongeren op de middelbare school wanneer plots functies aan bod komen, of rijen en reeksen, en vervolgens limieten, afgeleiden, integralen tot misschien zelfs – help! – differentiaalvergelijkingen: het domein dat in het Engels ‘calculus’ heet, en in het Nederlands vaak ‘analyse’ genoemd wordt. Jammer genoeg betekent analyse voor internationale wiskundigen nog net iets anders, en wordt het woord analyse zeer breed gebruikt, ook buiten de wiskunde. Daarom wordt in deze tekst consequent het woord calculus gebruikt.

In het basisonderwijs gaat veel aandacht naar rekenen: het kunnen werken met getallen, meten, verbanden zoeken en vraagstukken oplossen. En daar is een goede reden voor: getallen komt iedereen dagelijks tegen. Aantallen, prijzen, snelheden, klassementen: overal worden getallen gebruikt. Niemand trekt het belang van getallen in twijfel. Calculus gaat echter veel verder dan rekenen. Met calculus kan je heel duidelijk en precies verbanden tussen grootheden uitdrukken, zoals tussen de looptijd van een lening, de interestvoet en de afbetalingen. Of tussen tijd, afstand en snelheid. De structuur en orde die zo ontstaat, kan je in tal van domeinen gebruiken om problemen op te lossen of inzicht te vergroten. In de informatica is dit bijvoorbeeld essentieel voor de ontwikkeling van computerspelletjes. In de economie voor een goed begrip van de wet van vraag en aanbod. In de psychologie voor een correcte inschatting van de statistische waarde van een uitgevoerd onderzoek. Sociologen werken met differentiaalvergelijkingen om de evolutie van de bevolking te bestuderen, bijvoorbeeld onder invloed van partnerkeuze of migratie. En binnen de wiskunde zelf legde de ontwikkeling van calculus de basis voor een heleboel deeldomeinen, met esoterische namen als differentiaalmeetkunde, complexe analyse of Fourieranalyse.

De structuur en orde die dankzij calculus ontstaat, kan je in tal van domeinen gebruiken om problemen op te lossen

Calculus is zo belangrijk voor het inzicht dat de mens heeft verworven in het universum en de inhoud ervan dat de fysicus Richard Feynman het in zijn typische stijl ‘de taal van God’ noemde. Hij deed dit in een gesprek met Herman Wouk, een romanschrijver die hem in de voorbereidingsfase voor een nieuwe roman aan de tand kwam voelen over het Manhattan Project (dat leidde tot de eerste atoombom). Wouk had zijn hele schoolcarrière de wiskunde vermeden om zich via literatuur en filosofie toe te leggen op een zoektocht naar de betekenis van het bestaan. Nu hij van de fysicus Feynman hoorde dat calculus een belangrijke sleutel was tot het begrip van ons bestaan, werd hij alsnog geïntrigeerd.  Hij zocht dus zijn toevlucht tot schoolboeken, cursusteksten en zelfs middelbare scholen, enkel om vast te stellen dat zijn redenen om van wiskunde weg te vluchten er nog steeds waren. De kloof tussen de liefde die Feynman voelde voor de calculus en zijn eigen ervaring kon niet groter zijn.

In de meeste handboeken wordt wiskunde dan ook opgebouwd als een kaartenhuis: eerst de fundamenten, waarop laag na laag complexere structuren gelegd worden. Pas wanneer het kaartenhuis af is, kan je van op een afstand kijken en de constructie bewonderen om zijn symmetrie en stabiliteit. Bovendien wordt die wiskunde laag per laag ook technischer. Telkens er een nieuw begrip ingevoerd wordt, hangen daar een hele resem rekenregels aan vast, die vaak een grote hinderpaal vormen voor het inzicht in de onderliggende concepten. Dat leidt dan tot verwarring, en soms ook afkeer. Zoals wiskundeleerkracht Larry Martinek uit Los Angeles stelt: ‘Kinderen haten geen wiskunde. Wat ze haten, is erdoor verward te raken, geïntimideerd, en in verlegenheid gebracht.’

We mogen trouwens niet vergeten dat calculus ook echt niet gemakkelijk is. Het volstaat om naar de geschiedenis van het onderwerp te kijken om dat in te zien. Het onderwerp vindt zijn wortels in een ingewikkeld meetkundig probleem: het bepalen van de lengte van kromme lijnen en de oppervlakte van gebieden begrensd door kromme lijnen. Archimedes hield zich al rond 250 voor Christus bezig met dit soort problemen, maar na hem duurde het 1 800 jaar tot Galilei en Kepler begin zeventiende eeuw de ideeën van Archimedes gebruikten om beweging te verklaren, het startschot voor de ontwikkeling van de calculus.

Calculus vindt zijn wortels in een ingewikkeld meetkundig probleem

De stap van de lengte van krommen naar beweging is vanzelfsprekend zodra iemand er voor de eerste keer aan denkt: voorwerpen die bewegen volgen trajecten die je kunt beschrijven als kromme lijnen. Zo volgt een steen die je weggooit een parabolische baan, en de banen van planeten zijn ellipsen. Ook Galilei en Kepler losten maar een deeltje van de puzzel op, en het duurde nog een paar generaties tot Leibniz en Newton onafhankelijk van elkaar aan het einde van de zeventiende eeuw de puzzel samenlegden en de basis legden voor de moderne calculus.

Ondertussen wordt calculus – die wiskunde die de knapste koppen in onze geschiedenis dus bijna tweeduizend jaar kostte om te doorgronden – standaard gedoceerd aan een heleboel middelbare scholieren. Het is dit mirakel dat mee aan de wieg staat van onze wetenschappelijke en technologische vooruitgang. Of het nu over elektriciteit, communicatie, geneeskunde of economie gaat, calculus zorgt overal mee voor inzichten die de wereld kunnen verklaren en verbeteren. De grootste verwezenlijking van de calculus is dat ze moeilijke problemen gemakkelijker maakt via een geformaliseerd denkkader. Dit klinkt misschien vreemd, wetende dat de meeste schoolboeken waarin calculus uitgelegd wordt dit principe begraven onder een lawine van formules, procedures, stappenplannen en rekentrucjes. Toch zet calculus de belangrijkste stap: het maakt een probleem dat eerst onoplosbaar leek toch oplosbaar. Dat is een gigantische stap! Verwachten dat de uiteindelijke oplossing dan heel eenvoudig wordt, is waarschijnlijk te veel gevraagd. Toch is er één onderliggend eenvoudig en bloedmooi principe dat telkens terugkomt en de hele calculus reduceert tot variaties op één enkel thema. Dat thema, het ‘oneindigheidsprincipe’, vormt de kern van het recente boek Infinite Powers van de Amerikaanse wiskundige Steven Strogatz, dat op een verhalende manier uitlegt hoe de calculus tot stand is gekomen. Het is het boek dat Herman Wouk zocht.

Iedereen weet dat problemen makkelijker op te lossen zijn als je ze opdeelt in kleinere stukjes. Je lost dan eerst de kleinere deelproblemen apart op, en nadien leg je de deeloplossingen samen als oplossing voor je oorspronkelijke probleem.  Het radicale idee van calculus is om die strategie door te trekken tot in het oneindige. Calculus blijft een probleem opdelen en opdelen tot de deelproblemen oneindig klein zijn geworden. Elk van die oneindig kleine problemen is eenvoudig op te lossen, maar de keerzijde van de medaille is dat we oneindig veel van die deelproblemen gemaakt hebben. Het samenleggen van het oneindig aantal deeloplossingen is veel moeilijker dan het oplossen van elk van de deelproblemen, maar nog altijd een pak eenvoudiger dan het oorspronkelijke probleem (dat – zoals gezegd – eerst onoplosbaar was, en nu oplosbaar). Strogatz noemt dit idee van oneindig opsplitsen en samenleggen het ‘oneindigheidsprincipe’, en we kunnen het overal op toepassen, of het nu gaat om een bal die van een helling rolt, de luchtstroming rond een vliegtuigvleugel of de concentratie van virusdeeltjes in een patiënt.

Iedereen weet dat problemen makkelijker op te lossen zijn als je ze opdeelt in kleinere stukjes

Uiteraard vraagt het wat fantasie om het opdelen van problemen tot in het oneindige door te trekken. Wanneer we problemen uit de echte wereld met calculus proberen op te lossen, weten we dat we altijd ergens op een grens zullen botsen waarbij we het probleem niet verder kunnen opdelen. Als we, bijvoorbeeld, een brug opdelen in steeds kleinere stukjes om zijn draagkracht te berekenen, zullen we onvermijdelijk terechtkomen op de schaal van atomen en moleculen, die we niet straffeloos verder kunnen opdelen. Calculus beeldt zich op dat moment in dat we dat toch kunnen. Die conceptuele stap is dus een benadering van de realiteit. Het is dus belangrijk om na te gaan onder welke omstandigheden het verschil tussen ‘enorm veel enorm kleine stukjes’ en ‘oneindig veel oneindig kleine stukjes’ verwaarloosbaar is. Dat is gelukkig in de meeste toepassingen zo, maar niet altijd. Calculus is dus in zekere zin nuttige fictie. De conceptuele stap naar de oneindigheid helpt omdat die het mogelijk maakt de berekening uit te voeren terwijl we toch kunnen garanderen dat de bekomen resultaten waarheidsgetrouw zijn.

Het belangrijkste werk in de calculus is een manier vinden om met het concept ‘oneindig’ om te gaan. Telkens wanneer de ontwikkeling van de calculus een grote stap voorwaarts zette, ging dat gepaard met een gevecht met het concept oneindig. Om dat in te zien, keren we even terug naar 250 voor Christus, naar Archimedes en de zoektocht naar de oppervlakte van de cirkel. De kern van het argument van Archimedes bestond uit twee delen. Ten eerste, als we een cirkel in snijden, dan is de oppervlakte van de som van de partjes dezelfde als die van de oorspronkelijke cirkel.  Dat is zo voor elk aantal partjes, of het er nu vier, acht, zestien of oneindig veel zijn. Ten tweede: een oneindig klein partje is een driehoek, want bij zo’n oneindig klein partje is ook de buitenzijde – die langs de cirkelomtrek loopt – recht.  Dat betekent dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan een oneindig aantal keer de oppervlakte van een oneindig klein driehoekje: oneindig keer nul, dus. Jammer genoeg is die redenering niet voldoende. Omdat dit argument gebruikt kan worden voor elke cirkel ongeacht de grootte ervan, is het product van oneindig en nul onbepaald. Elke uitkomst is mogelijk. We zijn er dus nog niet. De truc van Archimedes was om de opdeling van de cirkel stapsgewijs te doen (eerst in vier, dan in acht, enzovoort tot in het oneindige), en de stukken telkens te herschikken zoals op de figuur. Op die manier bekwam hij in de limiet een rechthoek waarvan de oppervlakte dezelfde was als die van de cirkel. En de oppervlakte van een rechthoek berekenen, dat was voor Archimedes een koud kunstje.

De veralgemening van het berekenen van de oppervlakte van een cirkel naar de oppervlakte van een gebied omsloten door een willekeurige kromme heeft de grootste wiskundige koppen vele eeuwen gekost. Een belangrijk deel van de puzzel was de vaststelling, in de tweede helft van de zeventiende eeuw, dat je twee loodrechte assen kan trekken op een blad papier, een x-as en een y-as, en dat je dan met elk punt in het vlak een (x,y)-coördinaat kunt associëren. Een kromme kan dan uitgedrukt worden als een vergelijking waar de letters x en y in voorkomen. Die vergelijking drukt een eigenschap uit die gedeeld wordt door alle punten op de kromme, maar niet door de andere punten in het vlak.  Zo is bijvoorbeeld de vergelijking x²+y²=1 voldaan voor alle punten die op een afstand 1 liggen van het punt (0,0), en enkel voor die punten.  Die vergelijking beschrijft dus een cirkel.  Als je de vergelijking kunt schrijven in de vorm y=f(x), dan noemen we f een .  De functie f beschrijft de bewerkingen die je op x moet uitvoeren om de overeenkomstige waarde van y te vinden. Die functie vertelt het volgende: geef mij een waarde x, en ik vertel je welke waarde y ermee overeenkomt.  Al die (x,y)-koppels samen geven je een kromme in het xy-vlak. Dit systeem van toekennen van coördinaten aan punten in het vlak heet tot op vandaag het cartesische coördinatenstelsel, naar de Franse wiskundige René Descartes, hoewel zijn collega Pierre de Fermat al een decennium eerder dit principe had bedacht, en met zijn methodes zelfs problemen kon oplossen die voor Descartes te hoog gegrepen waren.

Na de invoering van het cartesische coördinatenstelsel stond niets de ontwikkeling van de calculus nog in de weg

Met de invoering van het cartesische coördinatenstelsel was de grootste stap gezet – niets stond de ontwikkeling van de calculus nu nog in de weg. Doordat krommen nu voor te stellen waren als vergelijkingen, waren twee – tot dan toe volledig gescheiden – wiskundige deelgebieden met elkaar verbonden geraakt: de algebra en de meetkunde. Het resultaat, de analytische meetkunde, zou de start betekenen van een eeuw vol doorbraken met als hoogtepunt de calculus zoals wij die kennen. Zo waren Fermat en Descartes in staat om met hun coördinatensysteem via algebraïsche berekeningen minima en maxima van curves te berekenen, en ook raaklijnen. De oppervlakte van een gebied omsloten door een kromme bleef echter nog (even) buiten bereik.

Ondertussen werd wel een verband gelegd tussen de studie van krommen in de meetkunde en de studie van beweging in de fysica. Even voor het werk van Descartes en Fermat, vanaf de tweede helft van de zestiende eeuw, waren eerst Galileo Galilei en daarna Johannes Kepler geïnteresseerd geraakt in de studie van beweging. Galilei ontdekte dat objecten die op aarde gegooid worden onder invloed van de zwaartekracht een parabolisch traject beschreven. Kepler ontdekte dat de planeten bewogen op elliptische trajecten rond de zon.

Dit zijn fenomenale ontdekkingen, gebaseerd op vele observaties en een grondige zoektocht naar een systematisch patroon dat de bewegingen kon beschrijven. Zo’n vaststelling levert echter geen verklaring voor die beweging. Om te beginnen was de zwaartekracht nog niet begrepen, dus was het gissen naar de reden voor deze bewegingspatronen. Bovendien gebeurden deze observaties en berekeningen voordat Descartes en Fermat hun coördinatensysteem hadden ontwikkeld.

Met de analytische meetkunde als bijkomend wiskundig gereedschap staat bijna alles klaar om de puzzel in elkaar te doen vallen. Door een kromme te bekijken als een traject dat een bewegend voorwerp aflegt, komt het ‘oneindigheidsprincipe’ terug op de proppen – het centrale element in de calculus. We bekijken voor het gemak even een concreet voorbeeld: een voetbal die vanaf de middenstip van een voetbalveld rechtdoor wordt weggetrapt. De kromme die ons in dit geval interesseert is de afstand die de bal heeft afgelegd (voorgesteld door y) als functie van de tijd (voorgesteld door x). Het functievoorschrift y=f(x) zegt dan het volgende: geef mij een tijdstip x (gemeten vanaf het moment dat ik tegen de bal trap), en door f(x) te berekenen bekomen we de positie van de bal (gemeten vanaf de middenstip) op dat specifieke tijdstip. Het functievoorschrift is gemakkelijk te bepalen wanneer de snelheid van de bal constant zou zijn. In dat geval kan je de afgelegde weg bekomen door gewoon die constante snelheid te vermenigvuldigen met de verstreken tijd – snelheid in meter per seconde, vermenigvuldigd met tijd in seconden, geeft inderdaad een afstand in meter. Het voorschrift f(x) is dan de vergelijking van een rechte.

Wanneer de snelheid niet constant is, is het functievoorschrift f(x) geen rechte, maar een kromme, en is deze redenering niet mogelijk. Hier komt het ‘oneindigheidsprincipe’ terug op de proppen. Het idee is om de kromme te benaderen door een aaneenschakeling van rechte stukjes. Bij elk van die rechte stukjes is de snelheid constant, en kunnen we dus doen wat we voordien deden: afgelegde weg is snelheid maal tijd.  Alleen hebben we nu een andere snelheid voor elk van de rechte stukjes. Hoe meer van die stukjes we nemen, hoe dichter we bij de oorspronkelijke kromme komen. De nuttige fictie in dit geval is de inbeelding dat elk bewegingspad samengesteld is uit oneindig veel stukjes afgelegde weg aan constante snelheid. Elk van die stukjes afgelegde weg kan berekend worden, maar is oneindig kort, omdat de hoeveelheid tijd waarover de snelheid constant gehouden wordt zelf oneindig kort is. Die ‘constante’ snelheid op elk ogenblik wordt de ogenblikkelijke snelheid genoemd. Met deze ingrediënten gingen Newton en Leibniz aan de slag, zo’n dertig jaar na Descartes. Voor wie zich nog herinnert hoe dit op school genoemd werd: het bepalen van de ogenblikkelijke snelheid bleek niet anders te zijn dan het berekenen van de raaklijn aan de kromme. In de calculus werd dit geformaliseerd als het afleiden van een functie, of het berekenen van de afgeleide. Het optellen van oneindig veel oneindig korte stukjes afgelegde weg werd integreren van een functie, of het berekenen van de integraal. De truc van Archimedes voor de oppervlakte van de cirkel was eindelijk veralgemeend.

Als beweging verandering van positie is, kunnen we dan calculus algemeen inzetten voor de studie van verandering?

Bovendien slaagde Newton erin de mysteries van beweging te doorgronden. Met enkele differentiaalvergelijkingen (zijn bewegingswetten en de zwaartekracht) kon hij zowel de baan van een kanonskogel voorspellen als de trajecten van de planeten. Die doorbraak brengt ons stilaan bij de laatste grote stap: als beweging niets anders is dan ‘verandering van positie’, kunnen we dan calculus algemeen inzetten voor de studie van verandering? Bestaan er in andere wetenschappelijke disciplines wetten die verandering beschrijven, net zoals de bewegingswetten van Newton dat doen voor de verandering van positie? Het antwoord is volmondig ja. Er bestaan intussen wiskundige modellen (in de vorm van differentiaalvergelijkingen) voor zowat elk wetenschappelijk fenomeen. Of het nu over bevolkingsgroei, bloedstroming, verkeer of elektrische signalen gaat, telkens wordt het concept ‘afgeleide’ gebruikt om verandering uit te drukken, en het concept ‘integraal’ om het geaccumuleerde effect van oneindig veel stukjes oneindig kleine verandering samen te leggen.

Vaak leiden die berekeningen zelfs tot nieuwe ontdekkingen. In 1860, bijvoorbeeld, vertaalde de Schotse wiskundige en fysicus James Clerk Maxwell de experimenteel vastgestelde wetten van de elektriciteit en het magnetisme in een wiskundige vorm die toeliet er de rekenregels van de calculus op los te laten. Na heel wat berekeningen kwamen er nieuwe vergelijkingen tevoorschijn die geen steek hielden. Maxwell voerde een aanpassing door (hij voegde een hypothetische stroom toe) die de tegenspraak zou oplossen, en met die toevoeging verscheen plots een elegante golfvergelijking, eentje waarin elektrische en magnetische golven mooi samen dansten. Bovendien rolde bij het bepalen van de golfsnelheid als bij wonder – eureka! – de lichtsnelheid uit zijn berekeningen. Maxwell had dus niet alleen het bestaan van elektromagnetische golven voorspeld, hij had ook de aard van licht gevat: licht is een elektromagnetische golf.  De voorspelling van Maxwell leidde in 1887 tot een experiment van Heinrich Hertz, dat het bestaan van elektromagnetische golven experimenteel bevestigde. Een decennium later bouwde Nicola Tesla het eerste communicatiesysteem met radiogolven, en vijf jaar later verstuurde Guglielmo Marconi de eerste draadloze boodschappen over de Atlantische oceaan. Televisie, internet en mobiele telefoons volgden. Het is duidelijk dat al deze verdiensten niet louter op het conto van de calculus alleen kunnen worden geschreven. Maar niets hiervan was mogelijk geweest zonder calculus. Op die manier is een avontuur dat duizenden jaren geleden begon uit loutere nieuwsgierigheid (hoe kan je de lengte van een kromme berekenen?) uitgegroeid tot een werkpaard dat ons niet alleen toelaat de werkelijkheid te bestuderen, maar ook om ze te verrijken en verfijnen. Misschien is de uitspraak dat calculus ‘de taal van God’ is minder overdreven dan ze klinkt.

Steven H. Strogatz, Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe. (Londen: Atlantic Books, 2019).

Giovanni Samaey is verbonden aan het departement Computerwetenschappen van de KU Leuven, afdeling NUMA (Toegepaste Wiskunde en Numerieke Analyse). Van 2013 tot 2018 was hij lid van de Jonge Academie. Zijn onderzoek richt zich op de ontwikkeling en de analyse van nieuwe rekenmethodes om grootschalige computersimulaties uit te voeren, met nadruk op efficiënt gebruik van rekentijd, onzekerheidskwantificatie en het integreren van experimentele meetgegevens in de simulaties. Specifiek bestudeert hij systemen van interagerende deeltjes (atomen, moleculen, cellen), met toepassingen in, onder meer, fusie-energie, polymeerfysica en gezondheidsmonitoring van gebouwen.