Deel dit artikel

beleggingsproducten zijn niet meer weg te denken uit het dagelijkse leven. toch blijft het voor velen een mysterie hoe beurshandelaren erin slagen op de ogenschijnlijke chaos van de financiële markten meer dan hun brood te verdienen. en hoe komen ze aan de prijzen die ze elkaar toeschreeuwen? bij het bepalen van de juiste prijs voor een optie of het berekenen van de aanwezige risico’s komt heel wat wiskunde kijken

Wanted: wiskundige modellen voor financiële massavernietigingswapens

Wim Schoutens

De financiële markten zijn niet meer weg te denken uit onze huidige maatschappij. Allerlei beleggingsproducten kom je tegenwoordig niet alleen tegen in gespecialiseerde milieus, maar ook in vele gewone huishoudens. In de nieuwsuitzendingen en in de krant krijg je de laatste beursgegevens. We doen aan pensioensparen en beleggen in clickfondsen, of we worden door onze bankier aangespoord om bepaalde beleggingsfondsen aan te kopen. Voorts kent iedereen wel de beelden uit het journaal of de foto’s in de krant van de soms hectisch handelende traders. Ze staren tegelijkertijd naar vier grote computerschermen, spreken in drie telefoons en maken wilde gebaren naar andere delen van de handelsvloer.

Beurshandelaren beheren grote hoeveelheden geld, die ze op een zo goed mogelijke wijze proberen te investeren in aandelen, opties en andere financiële activa. De beste combinatie en de prijzen van die activa veranderen doorlopend en dit brengt grote risico’s met zich mee. In het recente verleden is het al enkele keren flink verkeerd gelopen. De gigantische verliezen op de beurs als gevolg daarvan hebben aangetoond hoe kwetsbaar grote financiële instellingen zijn als er iets fout gaat. In maart 1997 moest de National Westminster Bank een verlies van 90 miljoen pond incasseren omdat een handelaar op een verkeerde manier de prijzen van opties op obligaties berekende. Twee jaar eerder was de Engelse Barings Bank zelfs helemaal ten onder gegaan doordat een optiehandelaar onverantwoorde risico’s had genomen. Zeer recent nog kwam Jérôme Kerviel in het nieuws, een Franse effectenhandelaar van de Société Générale, die door ongeoorloofde speculaties op de futuresmarkt een verlies maakte van 4,9 miljard euro.

Voor velen blijft het een mysterie hoe traders of beurshandelaren erin slagen om in de ogenschijnlijke chaos op de financiële markten meer dan hun brood te verdienen. En hoe komen ze aan de prijzen die ze elkaar toeschreeuwen? Bij het bepalen van de juiste prijs voor een optie of nog meer complexe producten komt heel wat wiskunde kijken. Essentieel hierbij is een goed wiskundig model dat de onzekerheid zo goed mogelijk beschrijft en waarmee snel genoeg prijzen kunnen worden berekend. Het mooiste voorbeeld is het intussen wereldberoemde Black-Scholesmodel. Myron Scholes en Fisher Black ontwikkelden dit model voor de beweging van aandeelkoersen op basis van de brownbeweging en lieten zien hoe je daarmee de juiste prijs voor de bijbehorende optie kunt berekenen. De brownbeweging (i.e. de onophoudelijke, willekeurige beweging van kleine vaste deeltjes in vloeistof) is in zekere zin de grote broer van de bekende gaussische normaalverdeling. Een brownbeweging is meer precies een stochastisch of kansvariabel proces waarbij de toenames over een tijdsperiode normaal verdeeld zijn.

De ironie wil dat Scholes en Merton ook hun aandeel hebben in een zwarte bladzijde in de geschiedenis van Wall Street

Toen het artikel van Black en Scholes in 1973 gepubliceerd werd, had het meteen een enorme invloed. Na enkele maanden gebruikten beurshandelaren over de hele wereld het nieuwe model en de Black-Scholesformule werd in de rekenmachine van elke handelaar geprogrammeerd. In oktober 1997 kreeg Scholes, samen met Robert Merton die ook nauw betrokken was bij de ontwikkeling van het model, de Nobelprijs voor Economie (Black was inmiddels overleden). De ironie wil dat beide heren ook hun aandeel hebben in een zwarte bladzijde in de geschiedenis van Wall Street. Een beetje gedreven beursspeler herinnert zich wellicht nog de kronieken van Long Term Capital Management (LTCM), een hefboomfonds onder leiding van een zeer gerenommeerd en gespecialiseerd team, waaronder Scholes en Merton. Negen maanden na de uitreiking van de Nobelprijs voor Economie spatte het LTCM uiteen en stond het op het punt om bankroet te gaan (nadat ze tot tweemaal toe 500 miljoen dollar op één dag hadden verloren). Met de gigantische hoeveelheid geld die in het LTCM zat, zou het faillissement een deel van Wall Street met zich meesleuren. Sterker nog, de Federal Reserve System (Fed) en in het bijzonder de voorzitter Alan Greenspan, vreesde dat het hele systeem zou omvallen, als het LTCM met vele honderden miljoenen dollars van internationale zakenbanken dreigde te verdwijnen. De Fed speelde uiteindelijk de reddende engel door een reddingsfonds van 3,65 miljard dollar samen te brengen.

Ondertussen is het voor velen duidelijk geworden dat het klassieke Black-Scholesmodel voor de beschrijving van het stochastische of kansvariabele gedrag van financiële activa en voor het prijzen van financiële afgeleide producten verschillende ernstige tekortkomingen heeft. Als we bijvoorbeeld op basis van de statistisch gefundeerde schattingsmethode van Black-Scholes zouden berekenen wat de kans is dat we een crash van de aandelenmarkt meemaken zoals die op Black Monday, 19 oktober 1987, dan komen we tot ridicule cijfers. Die dag daalde de Dow-Jonesindex met 22,6 procent. Zo’n crash zouden we volgens het Black-Scholesmodel (op basis van de normaalverdeling) ongeveer eens om de 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 jaar zien. De Big Bang gebeurde slechts ongeveer 15 000 000 000 jaar geleden. De huidige generatie moet dus wel zeer bijzonder zijn dat ze die exceptionele gebeurtenis heeft mogen meemaken. Een crash van dezelfde grootte vond trouwens ook plaats op Black Thursday, in oktober 1929. Het Black-Scholesmodel kan dus duidelijk worden verbeterd door de onderliggende bron van onzekerheid – de brownbeweging – te vervangen door een meer flexibel proces: een zogenoemd Lévyproces. Net zoals een brownbeweging normaalverdeelde toenames heeft, is een Lévyproces gebaseerd op toenames die een meer flexibele of realistische verdeling volgen. Dilip Madan en Benoit Mandelbrot (ja, die van de fractalen) zijn pioniers in dit gebied.

De laatste jaren zijn die Lévyprocessen het onderwerp geworden van heel wat theoretische en toegepaste studies en hebben ze geleid tot vele verbeteringen in verschillende deelgebieden van de financiële wiskunde. Het werken met Lévyprocessen maakt het mogelijk om de verschillende en zeer gewenste kanstheoretische eigenschappen van de onderliggende returns accuraat te modelleren. Zoals gezegd zijn Lévyprocessen gebaseerd op een meer flexibele en dus meer realistische verdeling. Men kan hier dus ook vrij nauwkeurig de verdeling van de historische returns mee vatten. Bovendien blijkt in het bijzonder dat Lévyprocessen aanleiding geven tot sprongen in het prijsproces. Voorts heeft recent werk geleid tot een betere kennis van vele probabilistische en analytische eigenschappen van die stochastische processen, waardoor ze zijn uitgegroeid tot een attractieve modelleertechniek in verschillende gebieden.

Op de creditmarkt zijn het voornamelijk de grote spelers die posities innemen

De markt van de afgeleide financiële producten heeft de laatste decennia een explosieve groei gekend en afgeleide producten worden tegenwoordig in enorme volumes verhandeld op de beursvloeren en Over the Counter-markten (OTC). Producten worden uitgeschreven op een enorme variëteit van onderliggende activa zoals klassieke aandelen en indices, maar ook op rentevoeten, wisselkoersen, inflatiecijfers, goud, olie en andere. Voorts zijn er ingewikkelde producten gecreëerd die een indekking leveren tegen het bankroet gaan van bedrijven (credit risk). Recente cijfers van de International Swap and Derivatives Association spreken over een credit-derivativesmarkt met een onderliggend bedrag van meer dan 45 biljoen USD (ter vergelijking: het BNP van België bedraagt ongeveer een honderdste hiervan) en met een jaarlijkse groei van rond de honderd procent. Op de creditmarkt zijn het voornamelijk de grote spelers die posities innemen (credit derivatives kopen/verkopen). Particulieren nemen niet rechtstreeks deel aan de markt, maar zij zijn er via allerlei beleggingsproducten (structured products, levensverzekeringen, …) onrechtstreeks wel mee verbonden. De creditmarkt is de klassieke equity-markt (aandelen en indexen) veruit voorbijgestoken, die laatste handelt ‘maar’ over tien biljoen USD.

Voorts is securitization – het bundelen, verpakken en herverpakken van allerlei financiële contracten, zoals leningen of creditcardtegoeden, in een verhandelbaar product – zeer gebruikelijk geworden. Die producten hebben intrinsiek nog altijd een belangrijk credit risk-component. Het zijn precies die producten die aan de basis liggen van de huidige crisis in de financiële markten (credit crunch). Rating agencies hebben vele van die deals een te laag risicoprofiel gegeven. Heel wat beleggers in die producten dachten dat het hele veilige beleggingen waren, maar de geschiedenis heeft het tegendeel bewezen. Zo heeft een slabakkende huismarkt in de Verenigde Staten via allerlei securitization deals voor een wereldwijde contaminatie gezorgd met als gevolg dat ogenschijnlijk veilige beleggingen toch grote verliezen hebben geleden en vele banken zo immense verliezen op hun portefeuilles hebben moeten boeken. Voor Bear Stearns waren de verliezen te groot en de vijfde bank van de Verenigde Staten moest redding zoeken. De operatie, die in een weekend werd doorgevoerd onder impuls van de Bushregering en de Amerikaanse Centrale Bank, had als bedoeling een grote vertrouwenscrisis in het internationale financiële systeem te vermijden. Alles moest zeer snel gaan en een overname moest voor de opening van de Aziatische beurzen rond zijn. JPMorgan Chase nam de bank over. Het aandeel van Bear Stearns werd gevaloriseerd op twee dollar, een week voordien was het nog dertig dollar waard en een jaar geleden nog honderdzeventig dollar. De overnameprijs is intussen wel opnieuw bijgestuurd naar tien dollar. Een magere troost voor de vele beleggers.

Het aandeel van Bear Stearns werd gevaloriseerd op twee dollar, een week voordien was het nog dertig dollar waard

We kunnen stellen dat afgeleide producten zeer populair zijn en steeds belangrijker worden, maar ook dat ze vaak in toenemende mate complex zijn. De voorgenoemde ‘exotische’ – dit wil zeggen de meer complexere – derivaten zijn in het bijzonder zeer gevoelig voor een accurate modellering van de stochastische drijvende factoren. Recent onderzoek spitst zich toe op een correcte prijszetting van die producten, hun corresponderende hedging (het innemen van marktposities ter indekking van de risico’s) en het riskmanagement ervan. Belangrijke aandachtspunten in die context zijn het modelleren van extreme gebeurtenissen en het modelleren van afhankelijkheden. Meer en meer contracten in de wereld van de afgeleide producten kunnen dienen voor een indekken tegen of een speculatie aangaande situaties met een eerder extreem karakter (crashes of defaults). De modellering hiervan samen met een schatting of ijking van de bijbehorende modelparameters (de calibratie) op basis van bestaande marktdata is een van de grote uitdagingen van het onderzoek. Bovendien zijn in heel wat markten multivariabele (met inachtneming van de correlatie) modelleringen meer en meer noodzakelijk.

Recent zijn bijvoorbeeld de Collaterized Debt Obligations (CDOs) vrij populair geworden. Die CDO’s leveren een gelaagde bescherming tegen het bankroet gaan in een pool van typische, meer dan honderd, bedrijven. Van groot belang in heel het opzet zijn de afhankelijkheden tussen de bedrijven van de pool. Als een bedrijf in moeilijkheden is, is het waarschijnlijker dat andere bedrijven in dezelfde sector of regio eveneens gelijkaardige problemen ondervinden. Ondanks het feit dat CDO’s tegenwoordig zeer liquide producten zijn geworden, bestaan er voor die producten niet echt fundamentele gerechtvaardigde en realistische dynamische modellen, of worden ze angstvallig geheimgehouden door een onderzoeksteam van één enkele financiële instelling. Warren Buffett, door Forbes gerangschikt als de tweede rijkste man in de wereld, heeft de voornoemde creditafgeleide producten financial weapons of mass destruction genoemd. Hoewel ze eigenlijk bedoeld zijn als verzekeringsproducten tegen bankroet, worden ze vaak gebruikt als speculatie-instrument met een zeer grote inzet. Wiskundig onderzoek kan hier een belangrijke rol spelen. Het moet meer transparantie brengen en op een wetenschappelijke manier de aanwezige risico’s berekenen.

Riccardo Rebonato, Plight of the Fortune Tellers: Why We Need to Manage Financial Risk Differently (Princeton: Princeton University Press 2007).

Wim Schoutens is als financial engineer verbonden aan de KU Leuven.