eerder dit jaar ontving de belgische wiskundige pierre deligne de abelprijs. deligne wordt geprezen omwille van zijn diepgaand begrip van de fundamentele mathematische structuren die zich in de meetkunde en de getaltheorie manifesteren. verschillende van zijn publicaties behoren tot de wiskundige canon. delignes bewijs van de riemannhypothese over eindige velden wordt beschouwd als zijn belangrijkste verwezenlijking.
Pierre Deligne en de yoga van de gewichten
Pierre Deligne werd geboren in Etterbeek op 3 oktober 1944. Hij behaalde zijn doctoraat aan de ULB in 1968 onder begeleiding van Alexander Grothendieck, één van de grootste wiskundigen van de twintigste eeuw, die toen verbonden was aan het Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) in Parijs. Na zijn doctoraat voegde Deligne zich bij de groep briljante wiskundigen die Grothendieck rond zich had verzameld in het IHES. In 1978 ontving hij de Fieldsmedaille voor zijn bewijs van de Riemannhypothese over eindige velden, en in 1984 werd hij hoogleraar aan het Institute for Advanced Studies in Princeton. Er volgde nog een imposante reeks bekroningen, waaronder de Crafoordprijs in 1988 en de Wolfprijs in 2008. Koning Albert verleende Deligne de titel van burggraaf in 2006.
Het mooiste en meest indrukwekkende aspect van Delignes werk is de eenheid die hij heeft blootgelegd tussen op het eerste gezicht totaal verschillende takken van de wiskunde. Uit zijn publicaties spreekt een diepgaand begrip van de fundamentele mathematische structuren die zich in de meetkunde en de getaltheorie manifesteren, zoals de notie van gewichten, die ik aan het einde van dit essay zal proberen te verduidelijken. Dit concept heeft als leidraad gediend bij het oplossen van openstaande problemen en het formuleren van diverse nieuwe resultaten. In die zin kan men spreken van een wiskundige ‘metafysica’. De wetenschappelijke teksten van Deligne zijn bovendien van een grote elegantie en helderheid, zodat vele van zijn oorspronkelijke publicaties tot de wiskundige canon zijn gaan behoren en nog steeds gelden als de beste introductie tot het onderwerp.
Als Delignes belangrijkste verwezenlijking wordt vaak zijn bewijs genoemd van de Riemannhypothese over eindige velden, dat gepubliceerd werd in 1974. In 1980 verscheen een vervolgartikel dat de theorie verder ontwikkelde. Samen vormen deze teksten een verbluffend werkstuk, dat de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie diepgaand heeft beïnvloed. Het is helaas onmogelijk om hier zelfs maar de grote lijnen van die theorie weer te geven; zelfs voor specialisten blijft het een uitdaging om haar volledig onder de knie te krijgen. In plaats daarvan zal ik proberen om de historische ontwikkelingen te schetsen die uiteindelijk tot Delignes bewijs leidden.
De Riemannhypothese over eindige velden maakt deel uit van de Weilconjecturen, een lijst wiskundige vermoedens die in 1949 geformuleerd werden door André Weil
De Riemannhypothese over eindige velden maakt deel uit van de Weilconjecturen, een lijst wiskundige vermoedens die in 1949 geformuleerd werden door de Franse wiskundige André Weil. Deze vermoedens hebben een enorme impact gehad op de ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde. Een veld is een verzameling waarvan we de elementen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, tenminste als de deler verschillend is van nul. De bekendste voorbeelden zijn de rationale getallen (breuken), de reële getallen (zoals π en de vierkantswortel uit 2) en de complexe getallen (die we bekomen door aan de reële getallen een vierkantswortel uit -1 toe te voegen). De gehele getallen vormen echter geen veld: zo kunnen we 1 niet delen door 2 zonder dat we de verzameling van gehele getallen verlaten. Er bestaan ook velden die slechts eindig veel elementen bevatten; in dat geval spreken we van een eindig veld. Deze eindige velden spelen een fundamentele rol in de getaltheorie. We kunnen bijvoorbeeld op de verzameling {0,…,6} een optelling, aftrekking en vermenigvuldiging definiëren op de volgende manier. Als we de gebruikelijke bewerkingen uitvoeren, zal het resultaat in sommige gevallen niet meer tot de verzameling {0,…,6} behoren: zo is 3+5=8, wat geen element is van onze verzameling. In een dergelijk geval vervangen we de uitkomst door de rest bij deling door 7, wat ervoor zorgt dat we opnieuw een getal verkrijgen tussen 0 en 6. Dus 3+5=1, omdat 1 de rest is als we 8 delen door 7. Op dezelfde wijze vinden we 2-4=5 (omdat -2=(-1)x7+5) en 2×6=5. Je kunt zelf experimenteel nagaan dat je in deze structuur ook kunt delen door elementen verschillend van 0: als a een getal is tussen 0 en 6 en b een getal tussen 1 en 6, dan kun je steeds een getal c vinden tussen 0 en 6 zodat de rest van het product bc bij deling door 7 gelijk is aan a. Dus c is het quotiënt van a en b in het eindig veld {0,…,6}.
In de algebraïsche meetkunde bestuderen we zogenaamde algebraïsche variëteiten over velden (of over meer algemene algebraïsche structuren). Een eenvoudig voorbeeld is de cirkel in het vlak met als middelpunt de oorsprong en met straal 1. Deze wordt gedefinieerd door de veeltermvergelijking x2+y2=1 over de reële getallen: de koppels reële getallen (x,y) die aan deze vergelijking voldoen zijn precies de punten op de cirkel. Meer algemeen kunnen we een algebraïsche variëteit over een veld F ruwweg definiëren als de oplossingsverzameling van een eindige lijst van veeltermvergelijkingen waarbij de coëfficiënten van de veeltermen tot F behoren. Als we werken over een eindig veld in plaats van over de reële getallen heeft een algebraïsche variëteit slechts eindig veel punten, aangezien er voor elke coördinaat van een oplossing slechts eindig veel mogelijkheden zijn. We kunnen deze oplossingen dus gaan tellen. Een elementair probleem dat binnen dit kader past, is bijvoorbeeld het volgende: op hoeveel manieren kunnen we x en y kiezen in {0,…,6} zodat x5+3xy2 deelbaar is door 7? (Het antwoord is 19.) Dit probleem kan worden geïnterpreteerd als een veeltermvergelijking over het veld {0,…,6}.
Wanneer we het eindig veld laten groeien, neemt ook het aantal oplossingen van onze vergelijkingen toe. De Weilconjecturen geven onder meer een gedetailleerd antwoord op de volgende vragen. Op welke manier stijgt het aantal oplossingen als we het eindig veld laten groeien? Als we vertrekken van vergelijkingen met coëfficiënten in de gehele getallen, zoals de vergelijking x2+y2=1, dan kunnen we enerzijds de oplossingen tellen in willekeurige eindige velden, maar anderzijds ook de meetkundige vorm bestuderen van de verzameling van oplossingen met coördinaten in de complexe getallen. Wat is dan het verband tussen beide?
Weil had zelf al opgemerkt dat zijn vermoedens bewezen zouden kunnen worden door bepaalde resultaten uit de complexe meetkunde over te hevelen naar variëteiten over eindige velden, en zo een brug te construeren tussen meetkunde en getaltheorie. Op dat ogenblik was het echter volstrekt onduidelijk hoe zo’n brug eruit zou moeten zien. Je kunt de complexe getallen voorstellen als punten van een vlak en er zo op een meetkundige manier over nadenken, maar deze rijke structuur leek op eindige velden volledig te ontbreken. Deze uitdaging was één van de voornaamste drijfveren voor Alexander Grothendieck om tussen 1958 en 1970 de fundamenten van de algebraïsche meetkunde volledig te herschrijven. Zijn theorie van schema’s bood een erg flexibel kader waarin technieken uit de algebra, meetkunde, getaltheorie, topologie en differentiaalmeetkunde tot interactie konden worden gebracht. Grothendieck verzamelde een groep leerlingen rond zich aan het Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) in Parijs en ontwikkelde in een reeks seminaries, de Séminaires de Géométrie Algébrique du Bois Marie, een nieuwe benadering van de algebraïsche meetkunde. Eén van deze leerlingen was Pierre Deligne, die door Grothendieck zijn beste student werd genoemd. Het decennium tussen 1960 en 1970 was een gouden tijd voor de algebraïsche meetkunde en waarschijnlijk één van de meest productieve en inspirerende periodes uit de geschiedenis van de wiskunde. Grothendiecks benadering werd al gauw de dominante theorie, al stuitte ze aanvankelijk op weerstand omwille van de enorme abstractiegraad en technische complexiteit. Ook vandaag nog is het voor beginnende onderzoekers een zware opdracht om met de schematheorie vertrouwd te raken, maar eens ze gekend is, komt ze erg natuurlijk over en is ze bijzonder efficiënt.
De étale cohomologie veralgemeende bepaalde sleutelbegrippen uit de algebraïsche topologie naar een ruimere context
Een essentieel onderdeel van Grothendiecks theorie was de étale cohomologie, die bepaalde sleutelbegrippen uit de algebraïsche topologie veralgemeende naar een ruimere context. Deze theorie kon ook worden toegepast op variëteiten over eindige velden en vormde daarmee de brug tussen meetkunde en getaltheorie waarnaar Weil op zoek was gegaan. Het eerste vermoeden van Weil was in 1960 bewezen door Bernard Dwork, aan de hand van een andere methode. Onder het geweld van de étale cohomologie bezweken omstreeks 1965 alle Weilconjecturen, op één na: de Riemannhypothese over eindige velden.
De klassieke Riemannhypothese werd in 1859 geformuleerd door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, en kan worden geïnterpreteerd als een uitspraak over de spreiding van priemgetallen. Riemann stelde een formule op die voor elk natuurlijk getal N een benadering geeft van het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan N. De Riemannhypothese geeft dan een bovengrens voor de afwijking van deze benadering ten opzichte van het werkelijke aantal priemgetallen. Dit is één van de voornaamste onbewezen vermoedens in de wiskunde en één van de zeven millenniumproblemen waaraan het Clay Mathematics Institute in 2000 een beloning van één miljoen dollar verbonden heeft. De Riemannhypothese over eindige velden doet een gelijkaardige voorspelling als we in plaats van priemgetallen de punten gaan tellen op een algebraïsche variëteit over een eindig veld, waarbij we het veld laten groeien.
Deligne publiceerde het eerste bewijs van de Riemannhypothese over eindige velden in 1974. Het bewijs maakte op een ingenieuze manier gebruik van de volle kracht van de étale cohomologie, in combinatie met subtiele argumenten uit de algebraïsche meetkunde en de groepentheorie. Minstens even belangrijk als het resultaat op zich was de filosofie waarin Deligne het kaderde: de yoga van gewichten. Om deze te begrijpen moeten we twee belangrijke eigenschappen van algebraïsche variëteiten introduceren: gladheid en compactheid. In intuïtieve termen is een variëteit glad als hij een mooie egale vorm heeft, zonder scherpe hoeken of kruisingen. Zo zijn een rechte en een parabool glad, maar een kromme in de vorm van de Griekse letter α (alfa) niet, omwille van het punt waarin de kromme zichzelf snijdt. Dit punt noemen we een singulariteit van de kromme. We noemen een variëteit compact als er geen stukken uit ontbreken en als ze zich niet oneindig ver uitstrekt in bepaalde richtingen. Een lijn en een vlak zijn niet compact; een cirkel en een torus (het oppervlak van een donut) zijn dat wel, maar ze verliezen hun eigenschap van compactheid als we er punten uit weghalen.
Over de complexe getallen kunnen we met gladde en compacte variëteiten willekeurige variëteiten gaan bouwen, door uit een gladde en compacte variëteit delen van dezelfde soort weg te halen en er nieuwe voor in de plaats te steken. Onze letter alfa kunnen we bijvoorbeeld construeren door te vertrekken van een cirkel, één punt weg te halen en vervolgens twee punten van de resterende lijn aan elkaar te kleven. Dit proces noemen we resolutie van singulariteiten. Gladde en compacte variëteiten zijn dus de essentiële bouwstenen van alle variëteiten. Deze structuur wordt op een subtiele manier weerspiegeld in de cohomologieruimten van de variëteit, bepaalde algebraïsche invarianten die we gebruiken om de vorm van de variëteit te meten. Een fundamenteel resultaat uit de complexe meetkunde zegt dat de cohomologieruimten van een gladde en compacte variëteit over de complexe getallen allemaal een zogeheten zuivere Hodgestructuur hebben, elk met een eigen gewicht. Het is helaas onmogelijk om hier zelfs maar in grote lijnen uit te leggen wat dat betekent, en ook voor specialisten blijven Hodgestructuren hoofdbrekers – ze spelen een hoofdrol in de Hodgeconjectuur, alweer een millenniumprobleem dat een miljoen dollar waard is. De term ‘gewicht’ komt voort uit het idee dat de cohomologieruimten van een variëteit opgebouwd zijn uit verschillende brokstukken van de variëteit; het gewicht drukt dan uit wat de dimensie is van die brokstukken (dus hoe groot of ‘zwaar’ ze zijn). Deligne heeft aan het begin van de jaren 1970 aangetoond dat de cohomologieruimten van willekeurige algebraïsche variëteiten over de complexe getallen een gemengde Hodgestructuur hebben, waarbij stukken van verschillend gewicht met elkaar worden gecombineerd. Deze structuur reflecteert op welke manier de variëteit opgebouwd kan worden uit gladde en compacte delen.
Wat Deligne heeft aangetoond is dat de cohomologieruimten van willekeurige variëteiten nog steeds een gemengde structuur hebben, waarbij verschillende gewichten samen kunnen optreden
Als we werken over een eindig veld in plaats van over de complexe getallen, is het bestaan van een resolutie van singulariteiten één van de voornaamste onopgeloste problemen uit de algebraïsche meetkunde. We weten dus niet of we alle variëteiten kunnen samenstellen uit gladde en compacte delen, al wordt dit wel sterk vermoed. Wat Deligne heeft aangetoond in zijn werk over de Riemannhypothese is dat de cohomologieruimten van willekeurige variëteiten nog steeds een gemengde structuur hebben, waarbij verschillende gewichten samen kunnen optreden. Deze structuur is bovendien zuiver voor gladde en compacte variëteiten (er treedt telkens maar één gewicht op). Dit was het essentiële ingrediënt dat nog ontbrak in Grothendiecks programma om de Weilconjecturen volledig te kunnen bewijzen. Grothendieck doopte deze theorie de yoga van gewichten. Hierbij staat ‘yoga’ voor een soort van metatheorie, een algemene leidraad die gebruikt kan worden in verschillende concrete toepassingen.
De yoga van gewichten is sindsdien uitgegroeid tot één van de basisinstrumenten van de algebraïsche meetkunde en tot een erg vruchtbaar conceptueel kader waarmee diverse fundamentele resultaten konden worden voorspeld en bewezen. Bovendien is dit slechts één van de vele indrukwekkende bijdragen die Deligne aan de wiskunde heeft geleverd. Ook al geeft Deligne zelf aan erg verrast te zijn door de toekenning van de Abelprijs, voor zijn vakgenoten lag het volledig in de lijn der verwachtingen.
Abelprijs 2013 voor Pierre Deligne, www.abelprize.no
Johannes Nicaise als wiskundige verbonden aan de KU Leuven.
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License